கணிதம் 399
இணை நேர்கோடுகளை இணை நேர்கோடுகளுக்கும் எடுத்துச் சென்றால். மட்டுமே ஒரு படி மாற்றமாகும். ஆக ஓர் இணைகரம் மற்றோர் ணைகரத்திற்கு எடுத்துச் செல்லப்படுகிறது; உண்மையில் எந்த இரு இணைகரங்கள் கொடுக்கப்பட்டாலும், இவ்விரு உரு வங்களிலும் கோணங்களும் பக்கங்களின் விகிதங்களும் எவ்வாறாயினும் அவ்விரு இணைகரங்களில் ஒன்றை மற்றொன்றிற்கு எடுத்துச் செல்லும் ஒரு படி மாற்றம் உளது. தோற்ற ஒற்றுமை கொண்ட வடிவக் தத்தில் எந்த இரு இணைகரங்களும் சமம் என்று கருதப்படுகிறது. இவ்வடிவக் கணிதத்தால் கோணங் களை அளக்க முடியாது; இணையற்ற கோட்டுத் துண்டுகளை நீளத்திற்காக ஒப்பிட முடியாது. எனினும் இவ்வடிவக் கணிதத்தில் கூம்பு வெட்டிகள் கணி உள் இல்லடிவக் கணிதத்தால் அக்கூம்பு வெட்டி களை நீள் வட்டங்களாகவும் பரவளையங்களாகவும் அதிபரவளையங்களாகவும் பிரிக்க முடியும். அணைத்து ஒரு படி மாற்றங்களின் தொகுதி ஒரு கடப்புக் (transitive) குலத்தை அமைக்கும். செங் கோண மாற்றங்களின் உட்தொகுதி ஒரு கடப்புக் குல மாகும். ஒரு வெளியின் மீது மாற்றங்களின் கடப்புக் குலமொன்று இருப்பின், அவ்வெளியின் மீது ஒரு வடிவக் கணிதம் இருக்கும் என்னும் பொதுவாக ஏற்கப்பட்ட ஓர் அறிவிப்பைச் செய்தார் கிளெயின் என்பார். மாற்றங்களில் ஒன்றால் ஓர் உருவம் மற் றோர் உருவத்திற்கு எடுத்துச் செல்லப்படுமானால் அவ்விரு உருவங்களும் ஒன்றுக்கொன்று சமமாகக் கருதப்படும். போலாய் - லோபாகெர்ஸ்கிகாஸ் யூக்ளிடியன் அல்லாத வடிவக் கணிதங்களுக்கு, மேற் காணும் கருத்திற்கு இணங்கும் பல்வேறு மாதிரிகள் வெளிக்காட்டப்பட்டன. இவற்றில் மிக்க கவனத் தைக் கவரும் மாதிரி பின்வருமாறு: தளம் (x, X*) இல் Z=x'+ix' எனும் சிக்கலெண் மாறியை அறிமுகப் படுத்தலாம். /a/< / என்றவாறு அமையும் அனைத்து மாறிலி சிக்கலெண்கள் a-க்கும் அனைத்து யெண்கள் (-க்கும் if W=e Z-a 1-āz ன் மெய் என்னும் மாற்றங்களின் தொகுதியைக் கருதினால் இவை கீழ்க்காணும் யூக்ளிடியன் அல்லாத வடிவக் சுணிதத்திற்கு வழி வகுக்கின்றன. புள்ளி வெளி, z தளத்தின் முழுமையும் அன்று. ஆனால் jz< என்ற அலகு வட்டவில்லைதான். என்பது அதில் சாதாரணப் புள்ளி; புதிய வடிவக் கணிதத்தின் நேர்கோடு என்பது யூக்ளிடியன் வடிவக் கணிதத்தில் அவ்வில்லையின் ஒரு விட்டமாகவோ, வில்லைக்குள் அமையும் ஒரு வட்ட வில்லாகவோ இருக்கும். இவ்வில்லின் இறுதிப் புள்ளிகள் வில்லை யின் எல்லைக்கோட்டில் செங்கோணத்தில் அமையும். கணிதம் 399 இவ்வடிவக் கணிதத்திலமையும் ஒரு நேர்கோட்டிற்கு வெளியே அமையும் ஒரு புள்ளி வழியே அக்கோட் டிற்கு இணையாக எண்ணிலடங்காப் பற்பல நேர் கோடுகள் உள் அதாவது இந்நேர்கோடுகள் வட்ட வில்லைக்குள் சந்திக்கா. இப்பண்பு வடிவக் கணி தத்தை அதிபரவளைய வடிவக் கணிதமாக்குகிறது. எனினும் ஒரு வடிவக் கணிதத்தில் எந்த இரு நேர் கோடுகளும் எப்போதும் சந்தித்தால் அவ்வடிவக் கணிதம் நீள் வட்டப் பண்பையுடையதாகக் கருதப் படும். நீள் வட்ட வடிவக் கணிதத்தின் உருத் தோற்றம் பெரு வட்டங்களை நேர்கோடுகளாகக் கொண்ட ஒரு கோளத்தின் மேற்பரப்பின் மீது கொள்ளப்படும் வடிவக் கணிதமாகும். (எடுத்துக் காட்டு; புவியின் மேற்பரப்பு). மேற்கூறப்பட்ட அதி பரவளைய வடிவக் கணிதம் திட்ட முறையில் கோளத்தின் மீது பெரு வட்டங்களின் நீள் வட்ட வடிவக் கணிதத்தின் ஈடு செய்யும் பகுதியாகும். வரையறுக்கப் சுவரும் வெளியின் கணக்கீட்டு முறை, எந்த முழு எண்n பரிமாணத்திற்கும், யூக்ளிடியன் போன்ற n பரிமாண வெளியின் வெறும் கணிதப் படைப்புக்கு வழி காட் டியது: அவ்வெளியின் புள்ளிகள் பொதுவாக I மெய்யெண்கள் (x1, x',... xn) ஆக வரையறுக்கப் பட்டு, அப்புள்ளிகளுக்கிடையே பல்வேறுபட்ட வடிவக் கணிதத் தொடர்புகள் தக்கவாறு பட்டன. அறிவியலில் மிக்க கண்ணைக் விளைவு காலம் இடம் பொதுத் தொடர்பு தத்து வத்தின் நான்கு பரிமாண வெளியாகும். ஆனால் இதற்கு முன்னரே பல பரிமாண வடிவக் கணிதம் இயற்பியலில் பங்கு வகித்தது. ஓர் எந்திரத் தொகுதி M நிறைப் புள்ளிகளை உள்ளடக்கியிருப்பின், தொகு தியின் நிலைகளைப் புள்ளிகளாகவுடைய (அதாவது ஏதோ ஒரு காலப் புள்ளியில் (Xm³. Xm³, Xm³} m=1...m புள்ளிகளாக அமையும்) கொண்ட வெளியை அறிமுகப்படுத்துவது மேலும், தொகுதியில் செயற்படும் கட்டுப்பாடுகள் இருப்பின், தொடக்க ஆய எண்களுக்கு மாற்றாகத் தொகுதியின் தனித்துணையலகுகளைப்(free parame- ters) பயன்படுத்தி வெளியின் பரிமாணத்தைத் தக்க வாறு குறைத்தது லக்ரங்கே- ஹாமில்டன் கோட்பாடு. பரிமாணம் மரபு. இயற்பியலிலும் வேதியிலிலும் எந்திரத் தொகுதி களிலிருந்து பிற தொகுதிகளுக்குத் தனித் துணை அலகுகளின் பயன்பாடு பரவியது; அத்தொகுதி களின் நிலையைப் பொருத்த சமன்பாடுகள் இயக்கப் படுகின்றன. இறுதியாக, கதிர் இயக்கக் கோட் பாட்டில் ஒரு தொகுதியின் நிலை எண்ணிலாப் பற் பல ஆய எண்களைப் பெற்றுள்ளது. இதைக் குறிக் கும் முடிவிலிப் பரிமாண வெளி ஒரு ஹில்பர்ட் வெளியாகும். மேலும் ஹில்பர்ட் வெளியின் கீழ் கணித வல்லுநர்கள் பொதுவாக முடி விலிப் பரி மாண வெளிகளால் கவரப்படுகின்றனர். இவ்வெளி
