826 அதிவடிவச் சார்புகள்
826 அதிவடிவச் சார். கள்
என்ற தொடர்பின்னம் எ இன் வெளிப்படைக் கோவை soutdS (Explicit expression) 338 9a
௪.எப். காஸ் (0.].கேோப8) என்பவர்
oF, (ab+ 2203/2)/ எட்ட) என்ற விகிதத்
உ 1 5465S (Ratio) தொடர்பின்ன விரிவு 84 த b= 9,
c= > என்று மதிப்பிடும்போது சமன்பாடு (6)
ஆறது எனக் கண்டுபிடித்தார். இத்தத் தொடர்பின்ன விரிவைப் பெறக் காஸ் என்பவர், மூன்று அதிவடிவச் சார்புகளை இணைக்கும் மூன்று உறுப்பு மீள்நிகழ்வு (Recurrence) 2. neyasnora (Relations) Gatawt sare. HSTUIH abc, என்ற மூன்று தன்னளவுகளில் (1214- meters) இரண்டு தன்னளவுகள் சமமாகவும், மூன்றா வது அவற்றைவிட ஒன்று குறைவாகவோ, அதிகமாக வோ அமைந்தால் சமமாக உள்ள இரு தன்னளவுகளும் மூன் நாவதுடன் அருகமைநத் தவை (0081121005) எனப் படும். இந்த அருகமைந்த உறவுகளைக் வசைக்கெழுச் சமன்பாடு (9) இன் பிரிநிலை ஒப்புமை (&வி௦ஜ)யாக அமையும் மூன்று உறுப்பு வேறுபாட்டுச் சமன்பாடுகள் (Difference equation) ஆகக் கருதலாம். பெரும்பாலும் அதிவடிவச் சார்புகள் இரண்டாம் வரிசை வகைக் கெழுச் சமன்பாடு அல்லது வேறுபாட்டுச் சமன்பாடு களை நிறைவு செய்கின்றன.
eGgurppmad (Transformations). சமன்பாடு (2) இல் உள்ள தொசையிடலில் (4 1-9 என்ற மாறிலி sener (Variable) மாற்றினால் நேரியல் (110540) பின்ன உருமாற்றச் சமன்பாடு (7) கிடைக்கிறது.
oF, (a,bie:z) = (1-2)7* QF, (a,c—biesz / (z—1))
வப] இதை ௨, -களின் சமச்சீரினைப் பயன்படுத்தி, தொடர் முறையினால் கணிப்பிடச் சமன்பாடு (A) இடைக்கும்.
எடு; (1-௪ 2, (0-0: 52)
seveacessesees f BD
இது இருபடி உருமாற்றம் உடைய இரண்டு தன்னளவு களைச் சார்ந்த அதிவடிவச் சார்பின் ஒரு பிரிவாகும்.
»F, (2a, 2b; a+b + 3.2) = oF, [a.bsa + b + 3:
42 (1—z)]
oF, (£b.a32a;z) = (1—z)~> ,F, [b,a—bia + 4; 25/(42--4)] வைய வ வவ(0)
இவை இரண்டும் மிக முக்கியமான சமன்பாடுகளாகும், ஏனென்றால், இவற்றில் உள்ள ஒவ்வொரு சார்பையும் ஓர் இயற்கணிதச் சார்பால் பெருக்கினால் ஒரு
Qa@soanet eatiy (Legendre function) கிடைக்கும் அனைத்து லெஜெண்டர் சார்புகளும் இவ்வகையில் தான் உருவாகின்றன.
ஒருங்கிணைவு அதிர்வடிவச் சார்பு (௦11108 1டறோ- 2601௩0411௦ ரீய௩::10௩). 6,3,௨ ஆய புள்ளிகளில் வசைச் கெழுச் சமன்பாடு (3) ஆனது, முறையான இறப்புப் tystrefiscnca (Regular singular points) உடையதாகும். இப்புள்ளிகளை ஈட,2),2, என்ற ஏதாவது மூன்று புள்ளி களுக்கு ஒரு நேரியல் பின்ன உருமாற்றம் மூலம் நகர்த் தலாம். இந்த உருமாற்றம் சமன்பாடு (7) முதல் (9) வரை உள்ள இருப்டி. உருமாற்றங்களிலுள்ள (110627 quadratic transformations) ss Pimuwsmens Car hy விப்பதுடன் சிறப்புப்புள்ளிகளை ஓரிடத்தில் குவியும்படி யும் செய்றது. இயல்பான அதிவடிவச் சார்புக்கு ஏற் படும் இத்தகைய மாற்றம் ஒருங்கிணைத்தல் (லோ
[1௦81௦6) எனப்படும். சார்பு ரீ, மே, b, aw
என்ற புள்ளிகளைச் சிறப்புப் புள்ளிகளாசக் கொண்ட வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டை நிறைவு செய்வதுடன், 6-ஐ மிகவும் பெரியதாக்கக் கடைக்கும் சார்பும் ஒருங் இணை அதிவடிவச் சார்பு ஆகும், இதன் சமன்பாடு (10) ஆகும்.
மி) (2/௨ $ (au 2
3 n=0 (c),n sosaceereesees (10) உருமாந்ற வாய்பாடு (8) சமன்பாடு (11) ஆக மாறு கின்றது.
iF, (aiegz) = ef Fy (Cares —z) eases eee( TT) இருபடி உருமாற்றம் (8) சமன்பாடு (12)-ஐக் கொடுக் கின்றது.
சாரி (00282) எள, (டீச் அட 2-)...1ஐ)
இச்சமன்பாட்டின் வலப்பக்கம் பெசல் சார்பின் (Bessel function) கற்பனை வீச்சின் (வாஜயாரமு.. எனிய
ஆகும். இதனைப் பயன்படுத்தினால் வசைக்கெழுச் சமன்பாடு (3), சமன் பாடு (12) ஆகின்றது.
zy” + (c—z)y’ — ay = 0 கவடி வகரம் வழ இது 0இல் முறையான இறப்புப் புள்வியையும், ௦0 இல் முறையற்ற சிறப்புப் புள்ளியையும் கொண்டது. இதன் ஒரு தீர்வு ப; (2:௦2) ஆகும்.
பொதுமைப்படுத்திய அதிவடிவச் சார்புகள் (ர2&11260 hypergeometric function). 2Fy jFy .F, ஆலய கூட்டுத் தொகைகள் (sums) @aduraGa va வுகை களில் பயன்படுவதால், சமன்பாடு (14)இல் வரை யறுக்கப்பட்டுஸ்ள பொதுமைப்படுத்திய அதிவடிவச் சார்பைக் கருதுவது பயன்மிக்கதாகும்,
பெருக்கல் அல்லத. ர உ 3)
