அளைவயியல், கணித 597
விதிகளின் நிகழ்தகவு தன்மையையும் தமது நூலில் அளவையியலாக விளக்கத் தொடங்கினார். இதற் கென தனிக் குறியீட்டு மொழியை (formal langu- age) உருவாக்கினார். பி. பொல்ழானோ (B. Bolzano), ஆர். டெடிக் கின்டு (R Dedekind), ஜி.கேன்ட்டர் (G. Cantor) ஆகியோர் கணக்கியலினை அமைப்புப்படுத்தி முறைப் படுத்திய கணங்களைப் (sets) பயன்படுத்தியபோது கணக்கோட்பாடு (Theory of sets) உருவாகியது. பின்னர் இந்நூற்றாண்டின் தொடக்கத்தில் ஜி.ஃபிரெழியும் (G. Frege), பெர்ட்ரேண்டு ரஸ்ஸ லும் (B. Russell) இத்துறையில் நிகழ்த்திய தேட்டங் கள், கணம் தொடர்பான உயர்நிலை நுண்மைப் பாடும் (abstraction) பொதுமையும் (universality) பற்றிய பேரார்வம் ஊட்டுவனவாகும். ரஸ்ஸலின் புதிர் உலகப்புகழ் பெற்றது. ஒரு கணம் அதன் உறுப் பாக அமையுமா? என்ற புதிரே அது. இதுபோல புதிர்கள் உருவாகிக் கணித அடிப் படைகளைக் கேள்விக்குறிகளாக மாற்றத் தொடங் கியபோது, அன்றைய மாபெரும் கணிதவியல் அறிஞர்களான டி. ஹில்பெர்ட்டு (D. Hilbert), எச். பாயின்கேர் (H. Poincare), எச். வேய்ல் (H. Weyl) போன்றோர் இப்புதிர்களைக் கூர்மை யுடன் கவனித்து அவற்றிற்குரிய மாற்றுத் திட்டங் களை உருவாக்கத் தொடங்கினர். இதில் டி. ஹில் பெர்ட்டின் (D. Hilbert) கணிதவியலின் வரம்புடைமை ஈட்டுத்திட்டம் (programme of finitary justifica- tion of mathematics) மிகவும் புகழ் பெற்றது. இது கணிதவியலை முறைப்படுத்த, அமைப்பின் நிறைவுடைமையை அந்த அமைப்பாலேயே நிறுவும் முறையைப் பயன்படுத்துகிறது. இது கணித அளவை யியலில் தற்கால அடிக்கோளியல் முறையை (modern axiomatic method) உருவாக்கியது. இம்முறை கீழ் வரும் மூன்று இயல்புகளைக் கொண்டுள்ளது. 1) ஒரு கோட்பாட்டின் அடிக்கோள்களைத் (axioms) தெளிவுறப் புரியும்படி அமைத்தல். 2) அந்தக் கோட்பாட்டை நிறைவுடன் விளக்க வல்ல அளவை முறைகளைக் கொண்டு (logical methods) அடிக்கோளிலிருந்து நெறிமுறையை யும் (principle) முழுக்கோட்பாட்டையும் (theory), உய்த்தறியும் விதிகளைத் (laws of inferences) தெளிவாக அமைத்தல். 3) கருதும் கோட்பாட்டை, அதன் எல்லா இருப்பு நிலைகளில் (positions), அதன் தேற்றங்களை (theorems) விளக்கவல்ல செயற்கையாக உருவாக் கிய மொழி வடிவங்களைப் பயன்படுத்தல். அளைவயியல், கணித 597 முதல் இயல்பு யூக்ளீடு (Euclid) உருவாக்கிய செந்நிலை அடிக்கோளியலுக்குப் (classical axioma tics) பொருந்தும். பின்னவை இரண்டும் கோட்பாடு களை மேலும் துல்லியமாகவும் தெளிவாகவும் விளக்க எழுந்த படிநிலைகளாகும். கணித வளர்ச்சியில் ஒவ் வொரு கட்டத்திலும் குறியீடுகள் செறிவூட்டி வந்திருந் தாலும் கணிதஅளவையியலுக்காக உருவாக்கப்பட்ட குறியீட்டு மொழிகள் மிகவும் செழுமையும் கணிதத் தின் பல துறைகளுக்கும் பொருந்தும் பொதுமையும் வாய்ந்தனவாகும். இது பல குறியீட்டு வழியமைப்பு மொழிகளை உருவாக்க (formal programming language) வழி வகுத்தது. கணித அளவையியலின் தலையாய கருப்பொருள் பல்வேறு கலனங்களாகும் (various calculii). கலனம் என்ற கருத்து 1) கலனக்குறியீட்டு மொழி, 2) கலன அடிக்கோள்கள்,3) உய்த்தறியும் விதிகள் (rules of inference) ஆகிய அடிப்படைக் கூறுகளை அடக்கிய தாகும். இது எண்பிப்பு (நிரூபிப்பு) பற்றிய தெளி வான வரையறையைக் கூற உதவுகிறது; ஆல்கோரி தம் பற்றிய கணித வரையறையைத் தருகிறது. ஆல் கோரிதக் கோட்பாட்டை உருவாக்கி ஆல்கோரிதக் கணக்குகளைத் தீர்க்க, இ.எல். போஸ்ட் (E.L. Post), ஏ.எம். டுயிரிங் (A.M. Turing), எஸ். சி. கிளீன் (S.C. Kleene),ஏ.ஐ. மால்த்சேவ் (A. I. Maltsev), பி. எஸ். நோவி கோவ் (P.S. Novikov), ஏ.ஏ. மார்க் கோவ் (A.A.Markov) ஆகியோர் வழிவகுத்தனர். கலனங்களின் கணித அளவையியலின் தொடர் வடிவங்களைப் படிக்க எண்பிப்புக் கோட்பாடு (proof theory) எண்பிப்புப்பற்றிய கருத்தை ஆழ மாக விளக்குகிறது. குறியீட்டு மொழியின் உட் பொருளை (semantic) அல்லது உண்மையைப் படி (model theory) மக்கோட்பாடு தெரிவிக்கிறது. இதனை ஏ.தார்ஸ்கியும் (A. Tarski), ஏ. ஐ. மால்த் சேவும் (A.I.Maltsev) உருவாக்கினர். கலனம் கலனத்தை மட்டுமின்றிப் பல அறிவியல் களை முறைப்படுத்த உதவுகிறது. அளவையியலை முறைப்படுத்தக் கூற்றுக் கலனமும் (prepositional calculus) பயனிலைக் கலனமும் (predicate calculus) உருவாகின.அளவையியல், சரியான சிந்தனை விதி களை உருவாக்கிய தொன்மை அறிவியல் ஆகும். இதை முறைப்படுத்தியவர்கள் வரிசையில் அரிஸ்ட் டாட்டிலையும் பூலையும் முன்பே கூறினோம். ஆனால் அளவையியலின் முழு முறைப்படுத்தல் கணித அளவையியலில்தான் ஒருமித்தது எனலாம். ஜி.பியானோ (G. Peano) என்ற இத்தாலியக் கணித அறிஞர் அளவையியலின் குறியீட்டு மொழிகளை வளர்த்தது மட்டுமின்றித் தம் முயற்சியால் அவற் றைப் பரவலான வழக்கிற்கும் கொண்டு வந்தார்.
