இயல்பான வகைக்கெழுச் சமன்பாடு 367
ஒரு முதல் வரிசை வகைக்கெழுச் சமன்பாடு ஒரு பொருத்தமான சமன்பாடேயில்லாத நிலையில், ஒரு குறிப்பிட்ட சார்பினால் இரு பக்கங்களையும் பெறப்படும் சமன்பாடு பெருக்கினால் புதிய பொருத்தமான சமன்பாடாகும். இப்பெருக்கும் சார்பு, தொகைகாண் காரணி (integrating factor) எனப் Mdx+Ndy 0 என்ற படும். அதாவது, o N UM ஆனால், சமன்பாடு சமன்பாட்டில் Dy 0x பொருத்தமானதாகாது. எனவே Dy ச [F(x,y) M] 0x Xx [ F (x,y) N] 0 எனக்கொண்டு, F(x,y) Mdx + F (x,y) Ndy = இன் தீர்வு காணலாம். இங்கு F(x,y) என்பது ஒரு தொகைகாண் காரணியாகும். தொகைகாண் காரணி ஒன்றிருப்பின் பெறமுடியும் என நிறுவலாம். பலகாரணிகள் a M a Y a N 8X N = f(x) ஆனால் Mdx + Ndy = 0 என்ற சமன்பாட்டிற்கு fr (x) dx 8M ay என்பது ஒரு தொகை காண் காரணியும், a N ax இயல்பான வகைக்கெழுச் சமன்பாடு 367 = 0, f(y,p) = 0 என்ற அமைப்புகளிலுமிருக்கலாம். இதில் மிகவும் முக்கியமானது y = px + f (p) என்ற கிளேய்ராட் அமைப்பாகும் (Clairaut's form). தன் தீர்வு y = cx + f (c) ஆகும். x + f' (p) = 0 என்பதும் இதனைச் சார்ந்த மற்றொரு சிறப்பு அமைப்பாகும். இவ்விரு அமைப்புகளுக்கிடையே p ஜ அகற்றினால் கிடைப்பது p-இன் தன்மைகாட்டித் தொடர்பு (p-discriminant relation) எனப்படும். சமன்பாடுகள் நேரியல் ப வரிசை வகைக்கெழுச் (linear differential equations of order n). சமன்பாடு (1) இல் வரையறை செய்யப்பட்டுள்ள சமன்பாடு நேரியல் 'ப' வரிசை வகைக்கெழுச் சமன்பாடு எனப் படும். சமன்பாடு (2) ஒருபடித்தான அல்லது சமபடித் தான நேரியல் 'n' வரிசை வகைக்கெழுச் சமன்பாடு எனப்படும். வகைக்கெழுச் செயலியைப் பயன்படுத்தி நேரியல் 'n' வரிசை வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகளின் தீர்வுகள் செயலிகள் சில காணலாம். (D-a) Y= 0 எனில் ax ஆகும். மரபில் அதன் தீர்வு Y - ce கொண்டு, சமன்பாடு (2) ஐ தனைக் Po (D-a,) (D-a,) (D-an) Y = 0 எனக் காரணிகளாகப் பிரித்தெழுதி ஒவ்வொரு காரணிக்கும் உரிய தீர்வினைக் கணக்கிட்டுச் சமன் பாட்டின் தீர்வை + ADD e Σ Cre எனக் காணலாம். r=1 Y = cqe21X + M = p (y) ஆனால் ¢ {y}dy 1 arx என்பது ஒரு தொகைகாண் dy [ [pdx] காரணியும் ஆகும். மேலும் dx + Py = Q என்ற சமன்பாட்டை என்ற தொகைகாண் காரணியால் பெருக்கினால் அடுத்து P..P, Pg, ... Pa என்பனவற்றை மாறிலி களாகக் கொண்ட சமன்பாடு (2) ஐ f(D)Y - (P,D+ P,Dg1 + ... + Pa_1D + Pa) = Y Q(x) என்ற செயலிமரபில் அமைக்கலாம். இதனை f(D)Y = P, (D-a,) (D-a,) ... (D-as) Y = Q (x) எனக்கொண்டு தீர்வு கண்டால், அதன் தீர்வு +Cnex + R (1) Y = C[e®1X +cgeAgX + d dx [ ye/pdx] = =Qe =Qcfpdx கிடைக்கும். jpdx jpdx foe dx + c ஆகும். எனக் கிடைக்கும். 7 dy p ஆனால் p = dx எனக்கொண்டு, dx இதன் தீர்வு ye = 0 வரிசை ஒன்று, ஆனால் படிகள் இரண்டு அல்லது இரண்டிற்கு மேற்பட்டவற்றைக் கொண்டு சில சிறப்பு வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகளை f(x,y,p) என அமைக்கலாம். இவ்வகைச் சமன்பாடுகளின் தீர்வுகளை மூன்று வெவ்வேறு முறைகளில், P இன் மதிப்பறிந்து, X - ன்மதிப்பறிந்து அல்லது Y இன் மதிப்பறிந்து காணலாம். சில சமன்பாடுகள் f(x,p) 1 Q (x) ஆகும். R (x) கொடுக் இங்கு R(X) = f(D) கப்பட்டுள்ள சமன்பாட்டின் சிறப்புத் தீர்வு அல்லது சிறப்புத் தொகை அல்லது தனிப்பட்ட தொகை (particular integral) எனப்படும். எனவே சமன் பாட்டுக்கு 2 Cre என்பது துணைத் தீர்வென n I = 1 வும், R(x) என்பது சிறப்புத் தொகை அல்லது தீர் வெனவும், துணைத்தொகை/தீர்வு + சிறப்புத் தொகை / தீர்வு = முழுத்தீர்வு/தொகை (complete
