இயற்கணித இடத்தியல் 387
உள்ளது சுழற்றி, அது அடிவானத்தளத்தின்மேல் போலவே கொண்டு படத்தை வரையவேண்டும். காட்சியிலுள்ள வளைவுகளின் இயலுருத் தோற்றம், நேர்கோடுகளை எல்லைக் கோடுகளாகக் கொண்டு வரையப்படுகின்றது. வளைவு, சீரான வடிவமுள்ளதாயின் அதை ஒரு செவ்வகத்தினால் அடைத்து, அச்செவ்வகத்தின் இயலுருத் தோற்றத்தி லிருந்து வளைவின் இயலுருத் தோற்றத்தை வரையலாம். சீரற்ற வடிவுள்ள நேர்கோட்டைப் பல செவ்வகங்களால் அடைத்து அதன் இயலுருத் தோற்றத்தை வரைய வேண்டும். பொதுவாக ஓவியங்கள் இயலுருத் தோறறத்தின் இவ்வுண்மைகளை உள்ளடக்கியனவாகும். ஒவியர்கள் அடிக்கோள்களை ஒட்டியே படங்கள் வரைந்து வரு கின்றனராயினும், இந்நூற்றாண்டில் சில ஓவியர்கள் இயற்கைத் தோற்றப்படி வரைய வேண்டியதில்லை என்ற கொள்கையைப் பரப்பி வருவதால் இயலுருத் தோற்றமின்றி ஓவியங்கள் வரையவும் தொடங்கி யுள்ளனர். இயற்கணித இடத்தியல் உலோ. செ. இது கணிதத்தின் ஒரு பிரிவான இடத்தியல் (topo- logy) அருவத் தனிமங்களின் (abstract elements) தொகுப்புகளைப் பற்றிய சில முதன்மைத் தன்மை களை விளக்கும் பகுதியாகும். கணிதத்திற்கு மிகவும் அடிப்படையான இதன் தாக்கம் கணிதத்தின் மற்ற பிரிவுகளில் மேலோட்டமாகத் தென்படுகின்றது. இதனுடைய கருத்துகளுக்கும் குறியீட்டுத் தருக்கத்திற் கும் (symbolic logic) மிகவும் நெருங்கிய தொடர்பு கள் உள்ளன. இது, புவியியல் வரைபடங்கள் (geo- graphical maps) வரைவதற்கும், மின்சாரம்,நீர், இயற்கை வளிமம் (naturai gas) போன்றவற்றைப் பகிர்ந்தளிப்பதற்கும், தொழிற்சாலையில் உள்ளதானி யங்கி அமைப்புகளுக்கும், போக்குவரத்துக் கட்டுப் பாட்டுக்கும், ஏவுகணைக்கு வழிகாட்டுவதற்கும் பெரிதும் பயன்படுகின்றது. இயற்கணித இடத்தியல் என்பது(algebraic topo. logy) இடத்தியலில் ஒரு சிறப்புப் பிரிவு ஆகும். இது இயற்கணித முறைகளைப் (algebraic methods) பயன் படுத்தி இடத்திய வெளியைப் (topological space) படிக்க உதவும் ஒரு பகுதி ஆகும். ஒரு வெளியிலிருந்து மற்றொரு வெளிக்கு வரையப்படும் தொடர்ச்சியான சார்பு (continuous function) f : X - Y என்பதன் பொருள் வெளி X இல் உள்ள புள்ளியை வெளி Y இல் உள்ள புள்ளிகளாக மாற்றும் அமைப்பு ஆகும். அ.க.4-25.அ இயற்கணித இடத்தியல் 387 எடுத்துக்காட்டாக, இருபதாம் நூற்றாண்டில் வாழ்ந்து வந்த டச்சு நாட்டுக் கணித அறிஞர் எல். இ.ஜே. புரௌவர் (L.E.J. Brouwer) என்பவரால் உறுதி யாகக் கூறப்பட்டது புரௌவர் நிலைப்புள்ளித் தேற்றம் (Brouwer fixed point theorem) ஆகும். அதாவது, ஒரு வட்டத் தகட்டில் இருந்து அவ்வட்டத் தகட்டிற்கே அமைக்கப்படும் ஏதாவது ஓர் அமைப்பு மாற்றி ஒரு நிலைப்புள்ளியுடையதாக இருக்கும். இதன் பொதுமைப்படுத்திய அமைப்பு, கொடுக்கப் பட்டுள்ள அமைப்பு மாற்றி f: D" D" என்ற சார்புக்கு f(x) x என்ற தன்மையுடைய ஒரு புள்ளி Dn இல் இருக்கும். இங்கு D€ என்பது R - பருமான வெளி Rr இல் உள்ள வட்டு அல்லது வட்டத்தகடு ஆகும். == மாற்றமிலி (invariant). ஏதாவது ஒரு குறிப்பிட்ட முறையில் வெளி X அல்லது அமைப்பு மாற்றி f-ஐ மாற்றம் செய்வதனால் அந்த வெளியை அல்லது அமைப்பு மாற்றியைச் சார்ந்திருக்கும் ஓர் அளவில் மாற்றம் எதுவும் ஏற்படாவிட்டால் அந்த அளவு மாற்றமிலி எனப்படும். வெளிகள், அமைப்பு மாற்றி கள் ஆகியவற்றை வகைப்படுத்துவதில் மாற்றமிலிகள் பெரும்பங்கு வகிக்கின்ற றன. கீழே வரையறை செய்யப் பட்டுள்ள அமைப்புமாற்றமிலியின் பாகை மாற்ற மிலிக்கு ஒரு பொருத்தமான எடுத்துக்காட்டாகும். S' என்ற அமைப்பு மாற்றி அலகு வட்டம் S' இலிருந்து அவ்வட்டத்திற்கே வரையப்பட்ட சார்பாகும். வட்டத்தில் உள்ள சுட்டுப் புள்ளி (argu- ment point) x வட்டத்தை ஒருமுறை சுற்றும்போது நிழற்புள்ளி (image point) வட்டத்தை எத்தனை முறை சுற்றுகிறதோ அதுவே அந்த அமைப்பு மாற்றி யின் பாகை (degree of the map) எனப்படும். f' : S' f : X→Y என்றஅமைப்பு மாற்றிக்கு லெஃப்ஷெஸ் எண் (Lefschetz number} L(f) ஐ வரையறை செய் யலாம். லெஃப்ஷெஸ் எண் என்பது f-இன் மொத்த நிலைப்புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை ஆகும், குறிப்பாக L(f) - இன் மதிப்பு,பூச்சியம் இல்லையானால் f-நிலைப் புள்ளியுடையதாக இருக்கும். f-ஐப் பற்றிய விவ ரங்கள் மிகுதியாக இல்லாமலேயே லெஃப்ஷெஸ் எண்ணைக் கணக்கிடலாம். எடுத்துக்காட்டாக f: Da Dn 1; f : Sa! Su-1 ஆனால், L(f) 1-(-1)n d(f) ஆகும். இங்கு S~1 உள்ள RI வெளியில் என்பது ஆனால், L(f)} அலகு கோளம் (unit sphere). இந்தக் கோளத்தின் சமன்பாடு 2 2 x + x + 2 1 2 ... + X n f-இன் பாகை ஆகும். 1 ஆகும். d(f) என்பது அமைப்பொற்றுமை (homology). ஒரு வெளியைப் புள்ளிகளாகவும் கோட்டுத் துண்டுகளாகவும், முக கோணங்களாகவும் மற்ற வடிவியல் பொருளாகவும்
