392 இயற்கணிதம்
392 இயற்கணிதம் தருக்கமுறையில் அமைக்கவும் கணித வல்லுநர் கள் எடுத்துக்கொண்ட முயற்சியின் விளைவாக, 19 ஆம் நூற்றாண்டின் தொடக்கத்தில் கருத் தியல் கணிதம் பிறந்தது. அடிப்படை இயற் கணிதத்தின் ஒவ்வொரு தலைப்பும், கருத்தியல் இயற்கணிதத்தின் தொடக்ககாலக் கொள்கைகளுள் ஒன்றாகக் கருதப்பட்டாலும், கருத்தியல் இயற் கணிதம் தன் வழிமுறைகளிலும் கருத்துகளிலும் அடிப்படை இயற்கணிதத்திலிருந்து பல வகைகளில் மாறுபடுகிறது. ஆயினும், அடிப்படை இயற்கணிதத் தின் அனைத்து விதிகளையும், மெய்ம்மைகளையும், கருத்தியல் இயற்கணிதத்தின் குறிப்பிட்ட செய்தி யாகப் பெறலாம். இயற்கை எண்களின் கணம். கணம் N பின்வரும் நிபந்தனைகளை நிறைவு செய்தால், அது இயற்கை எண்களின் கணம் எனப்படும். 1) 1 என்ற ஓர் உறுப்பு கணம் N இல் இருத்தல் வேண்டும். 2) ச : N N என்பதற்கான ஓர் ஒன்றுக்கொன் றான சார்பு (injective map) இருத்தல் வேண்டும். 3) ( க ச (N) அதாவது 1, எந்த ஓர் உறுப்பின் சந்ததியாகவும் இருக்கக்கூடாது. P 4) கணம் N இன் ஓர் உட்கணம் (subset) S ஆனால் (i) | S, (ii) m eS= (m) ES m ஆனது S இன் உறுப்பாக இருக்கும்போதெல் லாம். அதன் சந்ததி ச (m) ம் S இன் உறுப்பு என்ற நிபந்தனையை நிறைவு செய்யுமாயின் S= N ஆகும். = = 3............ TNI அடுத்து ச (1) 2, σ(2) குறியீடுகள் கொடுக்கப்படுகின்றன. இவ்வாறாக இயற்கை எண்களின் கணம் வரையறை செய்யப் பட்ட பின்னர் கூட்டலும், பெருக்கலும் வரையறுக் கப்படுகின்றன. இதே போன்று முழு எண்களிலிருந்து விகிதமுறு எண்கள் உருவாக்கப்படுகின்றன. இவ்வெண்களை அடிப்படையாகக் கொண்டு மெய்யெண்களையும், கலப்பு எண்களையும் பல்வேறு முறைகளில் உரு வாக்கி அவற்றின் பண்புகளை நிரூபிக்கலாம். இங்கு மிகக்குறைந்த அளவிலான, எளிய, வெளிப்படை உண்மைகளை மட்டும் மேற்கோளாகக் கொண்டு, நன்கு பழக்கப்பட்ட அனைத்து எண்களும் படிப் படியாக உருவாக்கப்பட்டு, அவற்றின் பல்வேறு பண்புகள் நிறுவப்படுகின்றன. எண்களின் பல்வேறு பண்புகளை அடிப்படை யாகக் கொண்டு, குலங்கள் (groups), வளையங்கள் (rings), புலங்கள் (fields) போன்ற கணித அமைப்பு கள் வரையறுக்கப்படுகின் றன. குலம். ஒரு வெற்றில்லாக் கணம் (non empty set) G இல்* எனும் ஈருறுப்புச் செயல் (binary opera- tion), கீழ்க்காணும் கட்டுப்பாடுகளை நிறைவு செய் தால்,கணம் (G ) ஒரு குலம் எனப்படும். 1) * ஆனது சேர்ப்பு விதிக்குக் கட்டுப்பட்டது. (அ-து a* (bac) (ab)ac, a,b, c = G) I 2) ஐச் சார்ந்து ஒருசமனி உறுப்பு (identity element) உண்டு. (அ து ஓee G s.tase = a va e G) 3) * ஐச் சார்ந்து G இன் ஒவ்வோர் உறுப் பிற்கும் ஒரு நேர்மாறு (inverse) உறுப்பு உண்டு. (அ-து 2 EG என்றால் = aleGst e) மேலும், குலம் G இல் a, bЄ G a wa¹ a b = a¹a ba 1 என்ற கட்டுப்பாட்டையும் நிறைவு செய்யுமாயின் அது ஓர் அபீலியன் குலம் (abelian group) எனப் படும். காண்க, குலக்கோட்பாடு. வளையம். இரண்டு ஈருறுப்புச் செயல்கள் (+,,) ஆகியவற்றைக் கொண்ட வெற்றற்ற கணம், R கீழ்க் காணும் கட்டுப்பாடுகளை நிறைவு செய்யுமானால் 1) (R, +) ஓர் அபீலியன் குலம் 2) a.(b.c) = (a,b), c y a, b, c = R 3) a,b,c ER, a. (b+c) = a.b + a.c. (b+c). a=b.a + c.a பங்கீட்டு விதிகள் (distributive laws) (R, +, ) ஒரு வளையம் எனப்படும். வளையம் R a.b baa,b ER என்ற கட்டுப்பாட்டையும் நிறைவு செய்யுமாயின், அது மாற்று விதிக்குக் கட்டுப் பட்ட வளையம் (commutative ring) எனப்படும். புலம். இரண்டு ஈருறுப்புச் Gawa (+. *,) கொண்ட வெற்றற்ற கணம் F. கீழ்க்காணும் கட்டுப் பாடுகளை நிறைவு செய்தால் I) (F, +,,) ஓர் பூச்சிய உறுப்பு 0-என்க. அபீலியன் குலம்: இதன் 2) (F - {0},) ஓர் அபீலியன் குலம் - 3}a.(b+c)=a.b + a.c + a,b,c E R (F, +) ஒரு புலம் எனப்படும். கட்டுப்பாடு 2 இலிருந்து
