இயற்கணித வடிவகணிதம் 397
இயற்கணிதம், பூலியன் காண்க: பூலியன் இயற்கணிதம். இயற்கணித வடிவகணிதம் உருவங்களை (figures) ஒரு தளத்திலிருந்து மற்றொரு தளத்திற்கு வீச்சிடும்போது (project), அவற்றின் சில தன்மைகள் மாறா. அம்மாற்றமிலாத் (invariant) தன்மைகளை ஆராயும் பகுதி வீச்சு வடிவகணிதம் அல்லது வீழல் வடிவகணிதம் (projective geometry) எனப்படும். இது தொகுமுறையிலும், பகுமுறையிலும் விரிவாக்கப்பட்டுள்ளது. தொகுமுறையில் சில தற் கோள்களை அடிப்படையாகக் கொண்ட தருக்க முறை முடிவுகள் இடம்பெறுகின்றன. பகுமுறையில் ஆயங்கள், இயற்கணிதச் சமன்பாடுகள் மூலம் செய்கைகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. வீச்சு வடிவ கணிதத்தைப் பகுமுறைப்படி இயற்கணித மொழியில் மொழிபெயர்த்தால் ஒரு வெளியின் பரிமாணத்தை இரண்டிலிருந்து மூன்றுக்கும். அதற்கு மேலும் அதிகரிக்கலாம். இவ்வாறு இயற்கணித முறையால் உயர் பரிமாண விரிவாக்கப்பட்ட வெளிகளுக்கு வீச்சு வடிவகணிதம், இயற்கணித வடிவகணிதம் எனப்படும். இயற்கணித வடிவகணிதத்தின் மூலம் இரண்டு அல்லது மூன்று பரிமாணவெளிகளில் உள்ள வடிவகணிதப் பொருள்களை எளிதில் விளக்கலாம். எனினும், பரிமாண வீச்சு வெளியில் இயற்கணிதப் பன்மடங்கிகளின் தன்மைகளைப் பொதுவாகவும், முழுமையாகவும் விளக்குவதே இதன் நோக்கம். அதாவது இருபரிமாண இயற்கணித வடிவகணிதத்தில் இடம்பெறும் சில அடிப்படைக் கருத்துகள், யறைகள் அடிக்கோள்கள் (axioms) ஆகியவை பரிமாண இயற்கணித வடிவகணிதத்திற்கு நீட்டிக்கப் படும் விதத்தை விளக்குவதாகும். வீச்சுவெளி அல்லது வீழல் வெளி. °, x}, வரை x" என்னும் மூலகங்கள் கீழ்க்காணும் இரண்டு கட்டுப்பாடுகளுக்கு உட்பட்டால், அவை K என்னும் புலத்தின் மேலான I பரிமான வீச்சுவெளி அல்லது Srn வீச்சுவெளி எனப்படும். ஒவ்வொரு பூச்சியமல்லாத திசையன் (non null vector) X= (x' x' ... X")க்கும், C இன் ஒரேயொரு மூலகத்துக்கும் ஒத்தியைபு (correspondence) இருக்க வேண்டும். P என்பது K. இன் பூச்சியமல்லாத மூலக மானால், x = (x để நா) என்னும் திசையனும், px = (px ', px', -- px") என்னும் திசையனும்,C இன் ஒரேயொரு மூலகத்தோடு ஒத்தியைபு கொள்ள வேண்டும். இங்கு Cஎன்பது 'n' பரிமானக் குறி Px யீட்டுக்கு உட்படும் இயற்கணித வடிவகணிதம் 397 பொருள்களின் ஓர் இனம் ஆகும்.K என்பது மூலகங்களின் புலம் ஆகும். Sn இல் x,, X1, ... xp, (0 < p < n) ஆகிய நேரியல் சாராப் ( p + 1) புள்ளிகளால் ( linearly inde- pendent points) முடிவெடுக்கப்படும் பரிமாண வீச்சு வெளியாகிய Sp, Sn இன் ஒரு வீச்சு உள் வெளி யாகும் (projective sub space). S" இல் உள்ள புள்ளிகளின் வெற்றுத் தொகுப்பை (vacuous collec- tion) S-1 என க் கொண்டால் அது - 1 பரிமாணம் உள்ள Sr இன் வீச்சு உள்வெளியாகும். இது போலவே புள்ளி, கோடு, தளம், முப்பரிமாணவெளி, பரிமாணவெளி, மீத்தளம் (hyper plane) ஆகியவை முறையே So, S; Sp, S ஆகும். T-1 இருமை ஆயங்கள். வீச்சு வெளி S.இல் (x,°x1,x) ஐ ஒருபடித்தான ஆயங்களாகக் கொண்ட ஒரு புள்ளியின் இயங்குவழியாகிய ஒரு கோட்டின் சமன்பாடு U.*° + U,x³ = 0 + u, x1 ஆகும். (ப.U U) என்பது ஒரு கோட்டை, ஒரேயொரு விதத் தில் நிர்ணயிப்பதால். (Ua, U, u) என்பது அந்தக் கோட்டின் ஒருபடித்தான கோட்டு ஆயங்கள் (homo geneous line coordinates) எனப்படும். (u, u, u) ஆகியவை மாறிலிகளாயின் V. x + u x 1 + u, xs 0 என்ற சமன்பாட்டின் பொருள் (x, x1, x2} என்னும் மாறும் புள்ளி (ue u, uz) என்ற ஒரு நிலைத்த கோட்டின் மேல் உள்ளது என்பதாகும். ஆனால் X, X', X' ஆகியவை மாறிலிகளானால் இச் சமன்பாட்டின் பொருள் (ug, I, ) என்னும் மாறும் கோடு (x°, x, x2) என்னும் ஒரு நிலைத்த புள்ளி வழியாகச் செல்கிறது என்பதாகும். இவ்வாறு S, வில், ஒரு புள்ளியும் ஒரு கோடும் இருமைப் பொருள்களாகும். எனவே (x, xl, x) என்னும் ஒருபடித்தான புள்ளி ஆயங்களும், (uo, u, ug) கோட்டு என்னும் ஒரு படித்தான ஆயங்களும் இருமை ஆயங்கள் எனப்படும். மேற்கூறிய கருத்துக்களை நீட்டித்தால், Sn - 1 மீத் தளத்தின் சமன்பாடு u, x' + u,x + + ***=0 என்றும்,(uo, U; un) என்பது Sn- 1 - இன் ஒருபடித் தான மீத்தள ஆயங்கள் (homogeneous hyperplane coordinates) என்றும் வரையறுக்கலாம். மேலும் S, வீச்சுவெளியில் ஒரு புள்ளியும், ஒரு Sn-1 மீத்தள மும் இருமைப்பொருள்களாகும். (x°, x', x, x") என்னும் ஒருபடித்தான புள்ளி ஆயங்களும் U₁) என்னும் ஒருபடித்தான மீத்தள ஆயங்களும்,I - பரிமாண இருமை ஆயங்கள் எனப் படும். ADO (nox" + u₁x² + பாடு உண்மையானால் = + UnX 0 என்ற சமன் மட்டுமே (x', x1 xn)
