இருபடி மேற்பரப்பு 703
இருபடி மேற்பரப்பு 703 படம் 1. நீள்வளையகம் எனப் முதன்மைத் தளங்கள் (principal planes) படும். இச்சமச்சீர்த்தளங்கள் இரண்டிரண்டாக வெட்டிக்கொள்ளும்போது, மூன்று சமச்சீரச்சுகள் (symmetric axes) உருவாகும். இவ்வச்சுகள், பரப்பு களை உச்சிப் புள்ளிகளில் (vertices) வெட்டும். ஓர் இருபடி மேற்பரப்புப் பற்றி முழுதும் அறிய, மையப்புள்ளி, மூன்று முதன்மைத் தளங்களாலாகிய மும்முகத்தகம் (trihedron), முதன்மை அச்சுகளின் நீளங்கள் ஆகியவை மிக முக்கியமானவை. இவை யாவும் ஒன்பது தன்னளவுகளைச் (nine parameters) சார்ந்தவை. மையப்புள்ளி, நிலையான தொரு குறிப்பிட்ட புள்ளியானால், மூன்று வெவ் வேறு இனங்களைச் சார்ந்த இருபடி மேற்பரப்புகள் எண் 1. 2. வெட்டுமுக உருவம் மூன்று நீள்வட்டங்கள் (படம்-1 ) ஒரு நீள்வட்டம், இரண்டு அதி அதி வளைவுகள் (படம்-2, படம் -3.) படம் - 2 3. அதிவளையகம் பகுதிகளாகப் பிரிக்கிறது. இப்பண்பு ஆதிப்புள்ளி ஒன்றுக்கு மட்டுமே பொருந்தும். அது உருவத்தின் மையம் எனப்படும். இவ்வாறான உருவங்கள் யாவும் மையக் கூம்பகங்கள் எனப்படும் (படங்கள் 1, 2, 3) அவ்வாறின்றி மையம், முடிவிலி முடிவிலி நிலையில் அமைந்து விடுமேயானால் ஒரு முதன்மை வெட்டு முகம் முடிவிலேயே தங்கிவிடுகிறது. எஞ்சிய இரண்டு வெட்டு முகங்களான பரவளையகங்கள் (paraboloids) ஓர் உச்சிப் புள்ளியில் சந்திக்கும். இருபடி மேற்பரப்பின் இனம், உரிய சமன்பாடு நீள்வட்டகம் (ellipsoid) (படம்-1) F= + y2 az b2 72 1 0 ஒருதகடு அதிவளையகம் (படம்-2.) (hyperboloid of one sheet) F 1 = 0 c2 இருதகடு அதிவளையகம் (படம் -3.) 3, இரண்டு அதிவளைவுகள் ஒருமுகம் கற்பனை (படம் - 3.) F y2 1 +
= 0 2 a இருக்கும். அவை, அவற்றின் முதன்மை வெட்டு முகங்களைப் பொறுத்தவை. இம்மூன்று பரப்புகளின் மேலும் (x', y', z') ஒரு புள்ளியானால், (-x', -y', -z') என்பதும் ஒரு புள்ளி யாயிருக்கும். எனவே, ஆதிப்புள்ளி, தன்வழிச் செல்லும் ஒவ்வொரு நாணையும் (chord) இரு சம உச்சிப் புள்ளியில் வரையப்படக்கூடிய தொடு தளத்திற்கு ஒரே பக்கத்தில் (மேலோ கீழோ) இப்பர வளைவு இருக்குமானால் அது ஒரு நீள்வட்டப் பர வளையகம் ஆகும். பரவளைவுகள் தொடுதளத்திற்கு இரு பக்கங்களிலும் இருக்குமானால் அது ஓர் அதி வளைவுப் பரவளையகம் ஆகும். அவை,
