எண் கோட்பாடு 111
முதலியன பற்றிய கோட்பாட்டினை உள்ளடக்கி யதே எண் கோட்பாடு (number theory) ஆகும். எண் கோட்பாடு மிகவும் விரிந்து பரந்த எண்ணியல் ஆகும். இதைப் பற்றி முழுமையாகத் தெளிவாக்குவது எளிதன்று. 2ஐ வகு எண்ணாகக் கொண்ட எல்லா முழு எண்களும் இரட்டை எண்களென்றும், 2ஆல் வகுக்க மீதி 1ஐக் கொடுக்கும் எண்கள் ஒற்றை எண்கள் எனவும் வரையறுக்கப்படுகின்றன. ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட மிகை முழு எண்களைப் பகா எண்கள் (prime numbers) என்றும், கலப்பு எண்கள் அல்லது பகுநிலை எண்கள் (composite numbers) என்றும் இருவகையாகப் பிரிக்கலாம். ஓர் எண்ணுக்கு ஒன்றும் அவ்வெண்ணும் வகு எண்களாக இருந்தால் அவ்வெண் பகா எண் என்றும், இரண்டிற்கு மேற்பட்ட வகு எண்கள் இருந்தால் அவ்வெண் பகு எண் என்றும் வரையறுக்கப்படும். எடுத்துக்காட்டாக 19 இன் இரண்டு வகு எண்கள் 1.19. எனவே, 19 ஒரு பகா எண். எந்த ஒரு பகு எண்ணையும் வேறு இரண்டு பெருக்கற் பலனாக எழுத முடியும். முழு எண்களின் இரண்டு எண்களுக்கு ஒன்றைத்தவிர வேறு பொது வகுஎண் இல்லாவிடில் அவ்வெண்கள் சார் பகா எண்கள் (relatively prime numbers) எனப்படும். பகா எண்களின் எண்ணிக்கை கணக்கிலடங்காது. பொதுவாக எண்கள் என்றால் முழு எண்கள் என்றே கொள்ளவேண்டும். a.b என்ற இரு எண் களின் பொது வகு எண்களில் மிகப் பெரிய வகு எண்ணை மீப்பெரு பொதுவகு எண் (மீ.பொ.வ) என்றும், அவ்விரு எண்களின் பொது மடங்குகளில் மிகச் சிறிய பொது மடங்கை மீச்சிறு பொது மடங்கு (மீ.சி.ம) என்றும் கூறுவர். இரண்டு எண்கள் சார்பகா எண்களாயிருந்தால், அவ்வெண்களின் பெருக்குத் தொகையே மீச்சிறு பொது மடங்கு ஆகும். இரண்டு எண்களின் பெருக்கற்பலன் அவ்வெண்களின் மீப்பெரு பொது வகு அவற்றின் எண் மற்றும் மீச்சிறு பொது மடங்கு ஆகிய வற்றின் பெருக்கற்பலனுக்குச் சமம். a. b என்ற எண்களின் மீப்பெரு பொது வகு எண்ணை (a,b) என்றும், மீச்சிறு பொது மடங்கை <a,b) என்றும் வழக்கம். இலை குறிப்பது ஒருமைத் தன்மை உடையன. எனவே, < a,b > ab (a,b) மேலும் a <a,b : b / < ab a/m, b/m எனில், < a.b>{m எண் கோட்பாடு /11 இங்கே x/y என்ற குறியீடு x என்பது y இன் ஒரு வகு எண் என்பதைக் குறிக்கும். பகாஎண் காணும் முறை. இரட்டாஸ்தனிஸ் என்பார் (276-194 கி.மு) ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணுக் குக் குறைந்த அனைத்துப் பகா எண்களையும் எண் காணும் சல்லடை முறையைக் கண்டுபிடித்துள்ளார். எடுத்துக்காட்டாக, 1-50 வரையுள்ள பகா களைக் காண 1-50 வரை கீழே கொடுக்கப் பட்டுள்ளதைப் போல் எண்களை எழுதிக் கொள்ள லாம். 1 5 7 9 10 11 12 13 14 15 16 (17) 18 (19) 20 - 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 (31) 32 33 34 35 36 (37) 38 39 40 49 50 (41) 42 43 44 45 46 47 48 எண் அன்று. (சிலர் 1 பகா எண் என்று Iபகா வரையறை செய்வதும் உண்டு) 2 பகா எண் (2 இரட்டை எண் என்பதைக் கவனிக்க). இரண்டைச் சுற்றி வட்டமிட்டு 2ஐத்தவிர அதன் மடங்குகளை நீக்கி விடலாம் அடுத்துவரும் பகா எண் 3. 3ஐச் சுற்றி வட்டமிட்டு 3ஐத் தவிர அதன் மடங்குகளை நீக்கலாம். அடுத்து வரும் பகா எண் 5. அதைச் சுற்றிச் வட்டமிட்டு. 5ஐத் தவிர அதன் மடங்குகளை நீக்கி விடலாம். இவ்வாறே, ஒவ்வொரு பகா எண்ணுக்கும் வட்டமிட்டு, அவற்றில் அதன் மடங்குகளை நீக்கி விடலாம். எனவே, 50க்குக் கீழுள்ள பகா எண்கள் 2, 3, 5, 7, 11, 13,17, 19, 23, 29, 31, 41, 43, 47 ஆகும். (சிலர் 1ஐயும் சேர்த்து எழுதுவதுண்டு). மேற்கண்டவற்றில் இருந்து, 2ஐத்தவிர ஏனைய இரட்டை எண்கள் பகா எண்கள் அல்ல என்றும், 5ஐத் தவிர எந்தப் பகா எண்ணும் 5இல் முடிவது இல்லை என்றும் அறியலாம். அமைப்பு . ax + by என்ற ஒருபடிப் பல்லுறுப்புக் கோவையில் a, b என்பன முழு எண் மாறிலிகள்; x,y என்பன முழு எண்களின் மதிப்பை ஏற்கும் மாறிலிகள். X.y களின் மதிப்பு மாற மாற ax + by என்ற கோவையின் மதிப்பும் மாறும். இம் மதிப்பு களை ஒரு கணமாகக் கொண்டு அதை S என்று பெயரிட்டால், பின்வரும் சில புலனாகும். உண்மைகள் a,b என்பன இரண்டும் ஒரே சமயத்தில் பூச்சியம் இல்லாவிடில் Sஇல் உள்ள மிகச்சிறிய இயல் எண், Sஇன் மீப்பெரு பொது வகு எண்ணாகும்.a.bக்களின் மீப்பெரு பொது வகு எண் d என்று கொண்டால். dஎன்பது Sஇன் மீப்பெரு பொது வகு எண்ணாகும். dஇன் எல்லா மடங்குகளும் Sஇல் உள்ளன.
