112 எண் கோட்பாடு
//2 எண் கோட்பாடு a, b, m என்பன மூன்று எண்களாயிருந்து, m ஆனது ab ஐ மீதியின்றி வகுத்து (m,a) =1 எனில், m என்பது b ஐ மீதியின்றி வகுக்கும். [(m,a) = 1 என்பது m.a சார்பகா எண்கள் என்றும் பொருள்தரும்]. (m,a) 1, (m,b) =1 எனில் (m,ab) 1ஆகும். (a,b) =d எனில் ax + by = d என்பது உண்மையாகுமாறு x.y உள்ளன. = (a,b) 1 எனில் ax + by = 1 என்ற சமன் பாட்டிற்குத் தீர்வுகள் உண்டு. N ஐ விடச் சிறிய இயல் எண்ணாகவும் Nக்குச் சார்பகா எண்ணாகவும் உள்ள எல்லா எண்களின் எண்ணிக்கை (N) என்று குறிப்பிடப்படும். (N) ஆய்லரின் சார்பு (Euler's function) எனப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, p (2) = 1, (6)=2 1.N=pqb re... ... sk என்று. பகா எண்கள் p, q, r,...s இவற்றின் அடுக்காக எழுதும்போது $ (N) = N சில குறிப்பாகப் பகா எண்களை மட்டும் குறிக்கும் வாய்பாடு ஒன்றும் இல்லை. ஆனால், குறிப்பிட்ட எல்லைகளுக்குள் அவ்வாறான பாடுகள் உள. எடுத்துக்காட்டாக. வாய் n< 40 எனில் n + n + 41 ஒரு பகா எண் (ஆய்லர்) n< 16 எனில் n' + n+17 ஒரு பகா எண் (பார்லோ) n 29 எனில் 2 n + 29 ஒரு பகா எண் (பார்லோ) n 80 எனில் n" - 79n + 1601 ஒரு பகா எண் n< 5 எனில் 23+ 1 ஒரு பகா எண் எந்த ஒரு பகு எண்ணையும் பகா எண்களின் பெருக்கற் பலனாக ஒரே ஒரு முறையில்தான் எழுத முடியும். N என்பது ஓர் இயல் எண்ணானால், Nக்கு மேற் படாத பகா எண்களின் எண்ணிக்கையை ள (N) என்று குறிப்பிடுவது உண்டு. ஒவ்வொரு பகு எண்ணையும் ஒருமைத்தன்மையாகப் பகா எண்களின் அடுக்குகளில் எழுதலாம். அதாவது, ... ... N = pa qb rc s* என்று எழுதலாம் என்றும், அப்போது p, q,. S என்பன பகா எண்கள் என்றும் a,b kஎன்பன இயல் எண்கள் என்றும் அறியலாம். N ஐ மீதியின்றி வகுக்கக்கூடிய எண்களின் எண்ணிக்கை (a+1) (b + 1) (c + 1) (k + 1) ஆகும். இந்த எண்ணிக்கையில் ஒன்றும், N ம், Nஐ மீதியின்றி வகுக்கக்கூடிய எண்களாகக் கணக்கிடப் பட்டுள்ளன. தொடர்ச்சியான n இயல் எண்களின் பெருக்கற் பலன் n! ஆல் வகுபடும் (எண்களை ஏறு வரிசையில் எழுதும்போது). . நிறை எண். N ஐ வகுக்கும் எண்களில், N ஐத் தவிர மீதி எண்களைக் கூட்டினால் வரும் தொகை Nக்குச் சமம் ஆனால் அது ஒரு நிறை எண் (perfect number) எனப்படும். எடுத்துக்காட்டாக, 6 இன் வகு எண்கள் 1,2,3,6 ஆகும். 6 ஐத்தவிர மற்ற வகு எண்களின் கூட்டுத்தொகை 1 + 2 + 3 = 6. எனவே, 6 ஒரு நிறையெண்ணாகும். . ஆய்லரின் சார்பு. N என்பது ஓர் இயல் எண். (1) (+). - ஆகும். 2. a, b என்பன சார்பகா எண்களானால், ¢ (ab) = (a) p (b) ஆகும். 3. என்றால் p என்பது பகா எண், t என்பது இயல்எண் (p) = p = p(1-p) 4. Nக்குக்குறைவான, ஆனால் Nக்குச் சார்பகா எண்ணாக உள்ள எல்லா எண்களின் கூட்டுத்தொகை N (N) ஆகும். 5.d, dd என்பன N இன் எல்லா வகு எண்கள் (I,உட்பட) ஆனால், ¢ (d) + ¢ (d,) + ... + ¢ (dr) - N ஆகும். (inta- முழுமைப்பகுதி. X என்பது எந்த ஓர் எண்ணா யிருந்தாலும், அதை x = முழுமைப்பகுதி gral part) + மிகைத் தகுபின்னப்பகுதி எழுதலாம். என்று x- இன் முழுமைப்பகுதியை [x] என்று குறிப்பிடு வர். எடுத்துக்காட்டாக, [4.5] = 4, மேலும், 0. 1, 4. [ஈ] = [7] = [ஈ] = -+ [x] < x < [x] + 1 [x+a) = {x] + [a], (a என்பது முழு எண் ஆனால்). (x + y] > [x] + [y] என்பன வெளிப்படையான உண்மைகள்.
