எண் கோட்பாடு 113
p என்பது ஒரு பகா எண்ணாயிருந்து, n என்பது ஏதாவது ஓர் இயல் எண் ஆனால், n p ஆக இருக்கும்போது n ! ஐ p யோ, p இன் அடுக்கோ வகுக்க முடியாது. ஆனால் n p எனில் k என்பது மிகச் சிறிய இயல் எண்ணாயிருந்து, n p* =0 என்று இருக்குமானால் n! ஐ மீதியின்றி வகுக்கும் p இன் மீப்பெரு அடுக்கு, ப [B]+B+B] + + [=]* எடுத்துக்காட்டாக, ஆகும். 1000! ஐ மீதியின்றி 3ஈ வகுக்குமானால் m இன் மீப்பெரு மதிப்பு [1000] + [1000 ] + + [1000 ] = ... 165 எனவே, 1000ஐ மீதியின்றி வகுக்கும் 3இன் மீப்பெரு அடுக்கு அல்லது படி 165 ஆகும். தொடர் கூட்டுத் தொடர் 1,3,5(2-1) என்ற கந்தழித் தொடர்முறை ஒரு கூட்டுத் arithmetic progression) முறை ஆகும். இத்தொடர் முறையில் எண்ணற்ற பகா எண்கள் உள. அவ்வாறே Kg+h. n =0,1,2 (I) என்ற எண்ணைப் பொது உறுப்பாகக் கொண்ட தொடர்முறை, கூட்டுத் தொடர்முறையாகும். (h,K)=d> 1 எனில் மேற்குறித்த கூட்டுத் தொடர் முறையில் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட பகா எண் ல்லை. ஆனால், (h,K) = 1 எனில், கூட்டுத் தொடர்முறை (1) இல் எண்ணற்ற பகா எண்கள் உள்ளன என்று டிரிஷ்ஷிலெட் (Drichlet) என்னும் கணித அறிஞர் கண்டறிந்தார். அம்மேதையின் கூற்றே டிரிஷ்ஷி லெட்டின் தேற்றமாகும். பகா எண்கள் எண்ணிலடங்கா என்ற ஆய்லரின் கூற்றுக்கு ஒத்த கூற்றை (1) இல் கண்ட கூட்டுத் தொடர் முறைக்கும் டிரிஷ்ஷிலெட் கண்டறிந்தார். குறிப்பாக, கூட்டுத்தொடர்முறை. (1) இல், K=4, h=-1 என்று பிரதியிட, அத்தொடர் முறை யின் பொது உறுப்பு Gr=4n -1 என்று அமையும். G.=4n-1 என்ற பொது உறுப்பு அமைந்தால், அத்தொடர்முறையில் எண்ணிலடங்காப் பகா கள் உள. எண் அவ்வாறே G.=40+1 என்ற பொது உறுப்பு அமைந்தால் அத்தொடர்முறையில் எண்ணிலடங்காப் எண்கள் உள்ளன. k,h என்பனவற்றிற்கு பகா அ.க. 6-8 எண் கோட்பாடு 113 வேறுமதிப்புகள் பிரதியிட்டு, தொடர்முறையை மாற்றி மேற்கண்ட, 'பகா எண்கள் எண்ணிலடங்கா என்ற கருத்தை வெளியிடலாம். சர்வசமம் அல்லது ஒருங்கிசைவு வரையறை. சர்வசமம் வரை காஸ் (1777-1855) என்பார் எண்களின் (congruence) அல்லது ஒருங்கிசைவு பற்றி யறை செய்தார். m என்ற எண்ணால் a,b என்ற எண்களை வகுக்கும்போது கிடைக்கும் மீதி சம மாயின், m என்ற மட்டுக்கு a,b என்ற இரு களும் சர்வசமம் உடையன அல்லது ஒருங்கிசைவு உடையன என்று வரையறை செய்யப்படுகிறது. a எண் அதாவது, a, b என்பன இரு இயல் எண்களாயிருந்து bஐm (#0) மீதியின்றி வகுக்குமானால் மட்டு m க்கு a, b சர்வசமம் உடையன. இதையே, a=b (மட்டு m) என்று எழுதுவது வழக்கம். 8 = 5 (மட்டு 31, 11 = எடுத்துக்காட்டாக 26 (மட்டு 5) சர்வ சமம் பற்றிய சில அடிப்படைப் பண்புகள் a,b,c, m என்பன இயல் எண்கள் எனில், 1. a = a (மட்டு m) 2. a = b (மட்டு m) எனில் b = a (மட்டு m) 3. a = b (மட்டு m). c=d (மட்டு m ) எனில் b+d (மட்டு m ) bd (மட்டு m) b" (மட்டு m) (n ஒரு &C 11! 1 NI 4.a.m இரு சார் பகா எண்களானால், யல் எண்) ax = 1 (மட்டு m) என்ற சர்வசமத்திற்கு X- இன் தீர்வு (மட்டு m) ஒன்றே ஒன்றுதான் உள்ளது. மேலும், அத்தீர்வும், m ம் சார்பகா எண்களாகும். 5. ax = b (மட்டு m) எனில், x இன் தீர்வு (மட்டு m) ஒன்றே ஒன்றுதான். மேலும் அத்தீர்வும், mம் சார்பகா எண்களாகும். 6.(a,m) = d எனில் ax = b (மட்டு m) என்ற சர்வ சமத்திற்குத் தீர்வு இருக்க வேண்டுமானால் d என்பது 6 ஐ மீதியின்றி வகுக்கவேண்டும். இந் நிபந்தனை தேவையானதும் போதுமானதும் ஆகும்.
