114 எண் கோட்பாடு
1/4 எண் கோட்பாடு எடுத்துக்காட்டாக 15x = 12 (மட்டு 36) என்ற சர்வசமத்தில் X இன் தீர்வு காண, (15,36) = 3 மேலும் 12ஐ 3 வகுக்கிறது. எனவே, சர்வசமத்தைச் சுருக்கி, X 5x = 4 (மட்டு 12) என எழுதலாம். இதற்கு 8(மட்டு 12) என்பது ஒரு தீர்வாகும். எனவே, 15x = 12 (மட்டு 36) க்குத் தீர்வுகள். x = 8,20,32 (மட்டு 36) ஆகும். கணிதமேதை ஃபெர்மாட் (Fermat - 1601-1665) இவை குறித்துக் கண்டுபிடித்த தேற்றங்கள் மிகவும் பயனுள்ளவை. ஃபெர்மாட்டின் தேற்றம் p என்பது ஒரு பகா எண்; a. p என்பன சார்பகா எண்கள் எனில், 1/21/ என்பது p ஆல் மீதியின்றி வகுபடும். அதாவது . a2-1 =1(மட்டு p) எடுத்துக்காட்டாக, p=7,a= 10 எனில் 108 = 1(மட்டு 7) என்ற உண்மை புலப்படும். ஆய்லர் பொதுமையாக்கிய ஃபெர்மாட்டின் தேற்றம். In என்பது ஓர் இயல்எண், a,n சார்பகா எண்கள் என்றால், 0(n) a(n) = 1 (மட்டு D) என்பது உண்மை யாகும். வில்சன் தேற்றம். p என்பது ரு பகா எண் ஆனால், (p - 1) ! + 1 என்பது p ஆல் மீதியின்றி வகுபடும். அதாவது (p-1) ! + 1 = 0 (மட்டு p) எடுத்துக்காட்டாக, p = 23 எனில் 22! +1 = 0 (மட்டு 23) வில்சனின் பொதுமைப்படுத்திய தேற்றத்தைப் பின் வருமாறு கூறலாம். p ஒரு பகா எண்: I < p எனில் (p-r) ! (r- 1) ! + (-1)-1 = 0 (மட்டு p) குறிப்பாக, I-1 = p-r என்று ஆகும்போது, = (r-1) = p-r - (p-1) எனவே, {i(p-1) } ! [ 1(p-1)}!+(-1)$(p-l) = 0(மட்டுp) டையாபாண்ட்ஸின் சமன்பாடு. கிரேக்க நாட்டுக் கணிதமேதை டையாபாண்ட்ஸ் சில இயற்கணிதச் சமன்பாட்டின் முழுத் தீர்வுகளைக் காண முனைந்து அதில் பெருமளவு வெற்றியும் பெற்றார். மாறிலி a, b, . என்பன கொடுக்கப்பட்ட களானால், ax + by = c என்ற இயற்கணிதச் சமன் பாட்டில் x, y களின் முழுத் தீர்வுகள் காண அவர் அரும்பாடுபட்டு வெற்றி கண்டார். அவ்வாறே.
- y' =Z என்ற சமன்பாட்டில் x, y, z. களின்
முழு எண் தீர்வுகளைக் காண முயன்றார். எடுத்துக்காட்டாக. 38+49=5.2 52+ 122 = 13 x' + y * =z' என்ற சமன்பாட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு காண்பதைவிட (x = 3, y =4, Z=5) ஒரு பொது வான இயற்கணித வாய்பாடு காணவே முயன்றார். அங்ஙனமே ஃபெர்மாட்டின் சமன்பாடு என்று சொல்லப்படுகிற டையாபாண்ட்ஸின் சமன்பாடு xn + y = Zக்கு 3 என்று இருந்தால். பூச்சிய மல்லாத முழு எண் தீர்வுகள் உண்டா, இல்லையா என்பதை இதுவரை எவராலும் நிறுவ முடியவில்லை. டையாபாண்ட்ஸின் தோராயத்தில் ஓர் எடுத்துக் காட்டு. x என்பது கொடுக்கப்பட்ட ஒரு மெய்யெண் N என்பது கொடுக்கப்பட்ட இயல் எண். q≤N என்றும் படியாக 9 - P மீச்சிறு மதிப்பாகவும் இருக்கும் என்ற விகிதமுறு எண் எதுவென்று காண்பதை டையாபாண்ட்ஸின் தோராயத்தில் ஓர் எடுத்துக்காட்டாகக் கொள்ளலாம். டையாபாண்ட்ஸின் இருமாறிகளில் ஒருபடிச்சமன் பாடு. a x + by = c என்ற இருமாறி ஒருபடிச் சமன்பாட்டில் (x, y மாறிகள்) a, b C என்பன கொடுக்கப்பட்ட முழு எண்கள். இச்சமன்பாட்டில் x,y களுக்கு முழு எண் தீர்வுகள் இருக்க வேண்டு மானால், d = (a,b) (மீ.பொ.வ.)c ஐ மீதியின்று வகுக்க வேண்டும். மேலும், இந்நிபந்தனை தேவை யானதும், போதுமானதும் ஆகும், x, y என்ற மாறி களுக்கு ஒரு தீர்வு இருந்தால், அவற்றிற்கு எண்ணி லடங்காத் (கந்தழி) தீர்வுகள் உண்டு. அவற்றின் மதிப்புx = xo + tt; y = yo b d அமைப்பில் அமையும். a . - 2 t4 என்ற பொது ax + by = c என்பதில் (a,b) = 1 என்று எடுத்துக் கொள்ளலாம். அவ்வாறு இல்லாவிடில் d= (a,b) என்பதால் வகுத்து தேவைக்குத் தகுந்தபடி சமன் பாட்டை எழுத முடியும். லாம். I< la l < [b| என்றும் எடுத்துக்கொள்ள b = a+ 0<< | a1
