எல்லை 323
எல்லை 323 இத்தகைய முடிவுடைய எண் S இல்லாவிடில். இத் தொடர்வு ஒரு விரிவுத் தொடர் (divergent sequence) எனப்படும். இடப்புற மற்றும் வலப்புற எல்லை. a என்ற மெய் மதிப்பைவிடக் குறைந்த மதிப்புகள் வழியாக x என்ற மாறி a ஜ அணுகும்போது, f(x) இன் மதிப்பு ஒருமுடிவுடைய எண்ணை (I') அணுகுமானால், அந்த எண் f(x) இன் இடப்புற எல்லை எனப்படும். இதை, lim f(x) =1 என்றோ (a-)=1' என்றோ n a குறிப்பிடலாம். இதேபோன்று, a ஐவிடப்பெரிய மதிப்புகள் வழி யாக X என்ற மாறி a ஐ அணுகும்போது, f(x) இன் மதிப்பு ஒரு ஒரு முடிவுடைய எண்ணை (I") அணுகு மானால், அவ்வெண் f(x) இன் வலப்புற எல்லை எனப்படும். இதை lim f(x)=" என்றோ f(a+) = 1" X2+ என்றோ வரையறுக்கலாம். a எனும் புள்ளியில் f(x) இன் எல்லை 1 என்று இருக்குமானால் பின் lim x + 2 + lim x-a f(x) f(x) என்றாக வேண்டும். அதாவது, " lim f(x) lim f(x) = f(a-) = f(a+) = 1 x + a lim முடிவிலி எல்லைகள் (infinite limits). ட என்ற எத்தனைப் பெரிய மிகை எண் கொடுக்கப்பட்டிருந் தாலும் C-S, C+s என்ற இடைவெளியில் cஐத் > L ஆக தவிர எல்லா x மதிப்புகளுக்கும் f(x) இருக்குமாறு 8 ஒன்று இருக்குமானால் x, C ஐ அணுக f(x), ∞ஐ அணுகும். lim x00 f(x) = 1; lim f (x) = 1 மிகை எண் N க்கேற்ப x > m, (- x> m ) என்றால் f (x} > N என அமையுமாறு m என்ற மிகை எண் இருப்பின் X (-x00 ) ஆனால் f (x), ஐ அணுகும். Iim x00 f (x) = 0; lim f (x) x-00 =& எல்லையைக் காணப் பயன்படும் சில தேற்றங்கள். 1. lim f(x) 1. lim lim x-a 2. lim lim xa g (x) = m ஆனால் {f (x) +g(x) } = 1 + m x-a f (x) = 1; lim g (x) = m எனில் { f(x) g (x) } = I.m இதிலிருந்து c மாறிலியாகவும் lim f (x) = ! என்றும் இருந்தால், lim x-a x a { f (x) c f (x) } d ஆகும் ஆக 3. lim f (x) = 1, lim g (x) = m, m x-a இருந்தால் lim f (x) = xa g (x) m சில குறிப்பிட்ட சார்புகளின் எல்லைகள். 1. ஒரு முழு எண் அல்லது குறை எண் அல்லது பின்னமாக இருந்தாலும் அதாவது lim f(x) = ∞ x + C இது போலவே மேற்கண்ட நிபந்தனைகளுக்குட்பட்டு எஐத் தவிர எல்லா x மதிப்புகளுக்கும் f(x) < - L ஆக இருக்குமாறு8 இருக்குமானால், x, cஐ அணுகும் போது f (x), -00ஐ அணுகும். lim f(x) அதாவது D-C 00. இதேபோல மிகை எண் € எத்தனைச் சிறியதாக இருந்தாலும் x>mஆக இருக்கும்போது (-x>m ஆக இருக்கும்போது) | f (x)-1|<E ஆக அமையு மாறுபோதிய அளவு பெரிய m உளதானால் x 00 0∞) ஆனால் f (x), 1 என்ற எல்லையை அடையும். அ.க. 6-21அ 1. lim x-a x*-a* naL a lim sin @ 2. во = 1 (0 ஆரையன் அளவு) lim 募 3. 1 + lim 4. 1+ n n lim 1 Y lim a-1 6. =0 log, a, (a > 0)
