ஓருருவமாக்கல் 905
வரம்பிலிக்குப் எல்லைகளைக் வளைகோடுகளில் ஒரு குறுக்கீட்டு பின்வாங்கும்போது நாண்களின் கணக்கிட்டு அல்லது தளத்தை முப்பரிமாண வரைவு முறையில் ஒரு கோளத்தின் மேல் வீழ்த்தி வரம்பிலியில் வளைகோடுகளுக்கிடையிலானகோணங் களைச் சேர்த்துக் கொள்ளலாம். அவ்வாறு தளத் தைக் கோளத்தின்மேல் வீழ்த்தும்போது கோளத்தின் ஒரு புள்ளியை வீழ்த்தல் மையமாகப் பயன்படுத்த வேண்டும். அப்போது தளத்தில் வரம்பிலியில் உள்ள புள்ளி, வீழ்த்தல் மையத்தில் வந்து பொருந்திக் கொள்ளும். இரு நிகழ்வுகளிலும் 0 = 1/z, a = 1/z என்ற மாற்றங்களால் வரம்பிலியிலுள்ள கோணங் கள்கூட எண் மதிப்பில் மாறுவதில்லை. . து 13 கூட்டு மாறியின் பொதுவான நேர்போக்கு மாற்றத்தைப் பின்வரும் சமன்பாடு வரையறுக்கிறது. az+8 2Z +8 08-8770 ......(3) இங்கு a. By 8 ஆகியவை மாறிலிகள். இந்த பின்னம் ஒரே மாதிரியாக மாறிலியாகி விடாமலி ருப்பதற்காகவே அவை மாறிலியாக அமைக்கப்படு கின்றன. நீட்டப்பட்ட தளத்தில் இந்த மாற்றம் ஒன்றுக்கு ஒன்று என்ற தன்மையை உடையது. ஏதாவது நான்கு தனிப்புள்ளிகளின் குறுக்குத் தகவு (cross ratio) மாறிலியாக இருப்பது இத் தகைய மாற்றத்தின் சிறப்புப் பண்புகளில் ஒன்றா கும்.Zg,Zg,Z,Z என்ற நான்கு புள்ளிகளின் குறுக்குத் தகவு பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது. (Z1,Zg,Zg,Z4) = (Z1-z,) (z,-z, ) (z,-Z3) (Z,-71) க ஓருருவமாக்கல் 905 சிறு ஒரு நேர்கோட்டிலோ அமையும் எனக் காட்டலாம். எளிமைக்காக நேர்கோடும் வட்டத்தின் ஒரு துண்டும் என்று வைத்துக் கொள்ளப்படும்.ZZ2. Z என்ற மூன்று தனித்தனியான புள்ளிகள் இருக் கும்போது Z என்ற புள்ளி அவற்றுடன் ஒரே வட்டத் தின் மேல் அமைந்திருக்க வேண்டுமானால் (Z1,Zg Z, Z) குறுக்குத்தகவு மெய்யானதாக இருக்க வேண் டும். அவ்வாறு இருக்கும்போது மட்டுமே அந்த நான்கு புள்ளிகளும் ஒரே வட்டத்தின் மேல் அமை யும்: நேர்போக்கு மாற்றத்தில் Z1, Zg, Z3 ஆகியவை 1 ., 0 என்ற தனிப்புள்ளிகளுக்கு மாற்றமடை யும்போது குறுக்குத் தகவு மாறாத வகையில் 2,0 என்ற புள்ளிக்கு மாறும். z, Zg, Z, Z ஆகியவை ஒரே வட்டத்தில் அமையும்போது மட்டுமே குறுக்குத் தகவு மெய்யானதாக இருக்கும்.0, ஆகியவையும் ஒரே வட்டத்தில் அமைவனவாகவும் (, ய, ஞ, ய) குறுக்குத் தகவு மெய்யானதாகவும் இருந்தால்தான் இந்த நிபந்தனை நிறைவு செய்யப் படும். எனவே நேர்போக்கு மாற்றத்தின்போது ஒரு வட்டம், வட்டமாகவே மாற்றப்படுகிறது. அலகு வட்டத்தை (unit disk) அதற்குள்ளே யும் அதிலுள்ள A என்ற எந்த ஒரு புள்ளியையும் ஆதிப்புள்ளிக்கு (origin) மாற்றுகிற ஒரு நேர்போக்கு மாற்றம் உள்ளது. இதைப் பின்வரும் சமன்பாடு காட்டும். Z-α Iil = 1 (6) 1-āz zz = 1 எனில், ......(4) w Y l-az z-a 1-az = Z-a 1-az l-az = 1(7) ஒரு புள்ளி வரம்பிலிருக்கும்போது அதற்கேற்ற வகையில் ஒரு மரபு கற்பித்துக் கொள்ளப்படுகிறது. அவற்றுக்கான உருத்தோற்றப் புள்ளிகள் , யஜ (ய ய எனில் (W1, Wg, wz, w₁) (Z1, Z,, Zg, Z,). 0 0, 04 ஆகியவற்றில் ஏதாவது ஒன்று வரம்பிலியிருக்கலாம். நான்கு புள்ளிகளும் ஒரு வட்டத்தில் அமைந் திருந்தால் அவற்றின் குறுக்குத் தகவு மெய்யானது என்பதைப் பின்வரும் சமன்பாடு காட்டுகிறது. arg Z-Z1 Zg-Za - arg Z4Z1 24-23 =0 அல்லது -(5) ஒரு வட்டத்திற்குள்ளாக அமைந்த கோணங்களின் யூக்லிட் (euclidean) பண்புகளிலிருந்து இதை மெய்ப் பிக்கலாம். மறுதலையாகக் குறுக்குத்தகவு மெய்யாக இருந்தால் நான்கு புள்ளிகளும் ஒரு வட்டத்திலோ. lal< என்ற வகையிலான a புள்ளி 1w<I என்ற வகைக்கு மாற்றப்படுகிறது. வேறு எந்த நேர்போக்கு மாற்றத்துக்கும் தேவையான பண்பு இல்லை. ரீமனின் தேற்றம் ( Rieman's theorem). தளத்தின் சிறிய, எளிதாக இணைக்கப்பட்ட பரப்புகள் வரை யறுக்கப்பட்ட புள்ளிகளின் தளமாகவும் நீட்டப்பட்ட ம் தளமாகவும் உள்ளன. இவற்றில் எதையும் ஒன்றுக் கொன்று என்ற விதத்திலும் ஓருருவத்தன்மையிலும் அலகு வட்டமாக மாற்ற முடியாது. குறைந்தது இரு எல்லைப் புள்ளிகளையாவது கொண்ட D என்ற வேறு எளிதாக இணைந்த எந்தப் பரப்பையும் அவ் வாறு மாற்றமுடியும் என ரீமன் உறுதிப்படுத்தினார். இந்த உண்மையை ஆஸ்குட் முதன்முதலாக மெய்ப் பித்தார். இதை மெய்ப்பிப்பது ஒற்றை மதிப்புள்ள (univalent) சார்பெண்களின் விளிம்புத் தன்மைகளைப் பொறுத்திருக்கிறது. D பரப்பில் ஒரே ஒரு மதிப்பைக் கொண்டுள்ள பகுமுறைச் சார்பெண்கள் ஒற்றை
