372 கணக் கோட்பாடு
372 கணக்கேரட்பாடு ஒரு கணத்தின் உரிவெண் முடிவுறு இயல் எண்ணாக இல்லாதிருப்பின் அக்கணம் முடிவுறாக் கணம் (infinite set) எனப்படும். மேலும் இவ்வகைக் கணமொன்றை அதன் ஒரு பகுதிக்கே ஒன்றிற் கான்றான சார்புகளின் மூலமாக இணைத்து இரண்டுமே ஒரே உரிவெண்ணை உடையன என நிறுவலாம். சான்றாக, முழு எண் கணத்தில் (Z), 2 Z இரட்டை முழு எண் பகுதி ஆகட்டும். f(n) = 2n என்று, சார்பு f: Z 27 ஐ வரையறுக்க, f ஓர் ஒன்றிற்கொன்றான சார்பு (one-one map) ஆகும். மேலும் p : 2Z Z எனும் சார்பை p (2n), = 2n எனக் கணித்தால், யும் ஓர் ஒன்றிற்கொன்றான சார்பு ஆகும். எனவே இரண்டு கணங்களும் ஒரே உரிவெண்களைக் கொண்டுள்ளன. உட்கணம். A,B எனும் இரு கணங்களில் A இன் உறுப்புகள் யாவும் B இன் உறுப்புகளாகவும் அமையு மானால், B இன் உட்கணம் (subset) ஆக A ஐக் கொள்வர். குறியீட்டில் ACB என எழுதுவர். கணித மொழியில் ACB <> xeAxeB A இன் உட்சுணமாக A இருக்கும். இதேபோல வெற்றுக்கணம் (null set) , எவ்விதமான உறுப்பும் இல்லாதிருப்பதால், அதன் உறுப்புகள் யாவும் A இன் உறுப்புகளாக அமையும்: எனவே உம்A இன் உட்கணமே. இவ்விரு உட்கணங்களும் தகா கணங்கள் எனப்படும். இவை தவிர்த்த மற்ற உட கணங்கள் தகு உட்கணங்கள் எனப்படும். A இன் உரிவெண் n எனில் அதற்கு 2 உட் கணங்கள் இருக்கும். ந்த 20 உட்கணங்களின் தொகுப்பு A இன் அடுக்குக் கணம் (powerset) P(A) ஆகும். இக்கணத்தின் உரிவெண் 2 ஆகும். A ஒரு முடிவுருக்கணமாயின் P(A) யும் முடிவுருக் சுணம் ஆகும். இக்கணத்தின் உறுப்புகளை நிலைநிறுத்த இயலாது. இதனை அடிப்படையாகக் கொண்டு அமைந்த கணித இயலே பூலே இயற்கணிதம் ஆகும். கணக் கணிப்பொறிகள் கணங் கணச்சேர்க்கை. A,B எனும் இரண்டு களின் சேர்க்கை (union) AU B. அவ்விரு கணங்களிலு முள்ள மொத்த உறுப்புகளின் கணமாம். அதாவது, AUB = {x | xEA அல்லது xeB} (xXEA AUB இன் ஓர் உறுப்பு x ஆனது A இன் அல்லது B இன் அல்லது இரண்டிற்கும் உறுப்பாக அமையும். வெண்படத்தினால் (Venn diagram) பின் வருவன வற்றை நிறுவலாம்: (i) AUB = BUA (பரிமாற்று விதி = commuta- tive law) (ii) AUA = A (தனித்தகைவுறு விதி = idem- potent law) (iii) (AUB) UC = AU(BUC) (கூட்டுச் சேர்ப்பு தி associative law) (iv) AU¢ = A. வெட்டுக் கணம், A,B எனும் இரண்டு கணங்களின் வெட்டுக்கணம் (intersection), AOB அவ்விரு கணங் களுக்கும் பொதுவான கணமாகும். அதாவது, உறுப்புகளின் AnB = {x | xeA and xeB} கணிப்பொறி கீழ்க்காணும் விதிகளை நிறைவு செய்யும்: (i) AnB = BOA (ii) AnA = A (iii) (AMB)ηC = AN(BNC) (iv) An = றீ மேலும் சேர்க்கையும் வெட்டும் பிரித்துப் பெருக்கும் விதியினை நிறைவு செய்வன. அதாவது, (AUBnC = (AnC) U (BC) U (AnB)UC = (AUC) n (BUC) நிரவ் கணம் A,B எனும் இரு கணங்களில், B ஐப் பொருத்த A இன் நிரல் (complement) கணம், B/A, Bஇன் A இலிருக்கும் உறுப்புகளைத் தவிர்த்த மற்ற உறுப்புகளின் கணமாகும். {x} BA = { x } x e B & x + A } B ஐப் பொதுக்கணம், X எனக் கொண்டால்,A இன் நிரல் கணம், A' A இன் உறுப்பு இல்லாத மற்ற பொருள்களின் கணமாம். A' = {xx A } கீழ்க்காணும் சமன்பாடுகளை வெண்படம் நிறுவலாம். மூலமாக
