கணக் கோட்பாடு 373
(i) (A') (ii) (AUB) (iii) (ANB) = A =A' OB = A' U B' கணக்கோட்பாடு 373 சாதாரண இயற்கணிதத்துக்கும் உள்ள தொடர்பை பூலே வலியுறுத்தியுள்ளார். AnBab (iv) B/A = BOA (v) X (vi) p X (vii) A/p = A, A (viii) A/X P. X/A = A' (it)* டீ மார்கன் விதிகள் A/(BUC) = (AB) (ATC) A/(BnC) = (AB) U (AC) சமச் சீர் மாறல்,A,B எனும் இரண்டு சமச்சீர் மாறல் கணம், A A B என்பது U AAB= (AB) U (B) கணங்களின் கீழ்க்காணும் சமன்பாடுகளை எளிதில் நிறுவலாம். (i) AAB= BAA C (ii) A A (B A C) = (A A B) A C (BAC)= (AAB) (iii) A AB = (AUB)\(ANB) பூலே இயற்கணிதம். கணம் X இன் அடுக்குக் கணத்தை எடுத்துக்கொள்ளலாம். கணிப்பொறிக ளாகிய Un,/ ஆகியவற்றால் கிடைப்பன. AUA = A; AUB = BUA; (A U B) UC = AU (BUC) } (1) A QA = A AnB = B ^ A; (A (JB) C = A n (Bc) (2) An (BU C) = (A () B) U (ANC) AU (BC) = (AUB) n (AUC) An =; xnA = A; A U AnA' A; × U A = X AUA = X (4) (3) மேற்குறித்த விதிகள் யாவும் அடிப்படையானவை. இவற்றால் இயற்கணிதத்தில் மற்ற வாய்பாடுகள் யாவற்றையும் அறுதி செய்ய முடியும். இவற்றிற்கும் X - 1 A' l-a AUB a+b-ab. எனக் கொண்டால், மார்ஷல் ஸ்டோன் என்பார் பூலேயின் இயற்கணிதம் சாதாரண இயற்கணிதத்துக் குப் பொருந்தும் என நிறுவியுள்ளார். இவையே பூலேயின் வளையங்களுக்கும் பொருந்தும். 1941 இல் நியூமான் என்பார் பூலேயின் இயற் கணிதம், வளையம் ஆகியவற்றிற்குப் பொருந்துமாறு கீழ்க்காணும் விதிகளை உண்டாக்கினார். a (b+c) = ab+ ac (a+b) c = ac+bc a. 1 = a; a +0 = 0 + a a' : o; a + a = 1 (5) (6) இவ்விதிகளால் மற்ற விதிகள் யாவற்றையும் நிறுவிட இயலும். முடிவுறு பூலேயின் இயற்கணிதத்தில் 2n உறுப்புகள் மட்டுமே உள்ளன. இவை {1,2,n} என்னும் கணத்தின் அடுக்குக் கணத்திற்குச் சம மானவை. இதை n ஆக்கிகளையுடைய பூலேயின் இயற்கணிதம் (Boolean algebra) என்பர். முடிவு றாப் பூலேயின் இயற் கணிதம் ஆழ்ந்த கருத்து களை உடையது. மிக முக்கியமான முடிவு ஸ்டோ னின் பதிலியுறுத்தும் தேற்றம் (representation the orem), S எனும் கணக்களத்தை (field of sets } ஒரு கணம் 1 இன் உட்கணங்களால் அமைத்திடலாம். A,B என்பன S இன் உறுப்புகளாக, வெட்டு AnB. சேர்க்கை AUB, நிரலி A' ஆகியவற்றைப் புனைவுச் செயலாகக் கொள்ளலாம். அவ்வாறாயின் எந்த ஒரு பூலேயின் இயற்கணிதமும் ஒரு கணக்களத்திற்குச் சமனி (equivalent) ஆகும். இதை வளையத்தின் ஒளி ரகம் (ideal), பகாஒளிரகம் (prime ideal) உதவியால் நிறுவிடலாம். பூலே வளையத்தில் எல்லாப் பகா ஒளிரகங்களும் மீப்பெரு ஒளிரகங்கள் (maximal ideals) ஆகும். முடிவுறாப் பூலேயின் இயற்கணிதத்தில் முடிவுருப் பிரித்துச் சேர்க்கும் விதிகளைக் காணவேண்டும். இவ்விதிகளை ஒரு சுனம் கொண்டிருக்குமானால் அதனை ச களம் என்பர், ஆல்ஃப்ரடு டார்ஸ்க் என்பார் σ களத்திற்கும் ச வினால் நிறைவுறு DO
