394 கணிதம்
394 கணிதம் தொலைவைக் கார்டிசியன் ஆய எண்களில் பெற s = (x¹-y¹)* + + (x-y") (1) என்னும் கோவை பெறப்பட்டது. நுண்ணிய டை வெளித் தொலைவைக் கொண்ட இரு புள்ளிகளைப் பொறுத்து மேற்காணும் விளைவு ds' = (dx') + .. + (dx")* எனும் நேர்கோட்டு எளிய பகுதியாகும். இவ்விளை வின் பொதுப்படையான கூற்று 10 n ds2 Σ gij dx' dx/ (2) 1 ரீமான் வடிவக் கணிதத்தில் முக்கியத்துவம் வாய்ந்தது. பற்பல பரிமாணங் கொண்ட வெளிக்கும் ஆய எண்கள் சிக்கவெண்களாக அமையும்போதும் சமன்பாடு (1) இன் நீட்சியைப் பகு முறை வளர்ச்சி கள் தூண்டின. ஆக, lz¹ - w[ + 411 தொலைவின் இவ்வரையறையின் கீழ் வெளி ஒரு ஹில்பெர்ட் வெளியாகிறது. வெளி, குவாண்டம் இயக்கவியல் (quantam mechanics), இயக்கக்கோட் பாடு (operator theory) இவற்றின் அடிப்படையாகும். இறுதியாக முடிவுள்ள பரிமாணமும் சிக்கலெண்களை ஆய எண்களாகக் கொண்டதும் ஆன வெளியில் நேர் கோட்டு எளிய பகுதியை ds2 = Σ cA=1 - død, என்று அறிமுகப்படுத்துவது குறிப்பிடத்தக்கதாகும். சிக்கலெண் மடிப்பைப் பற்றிய ரீமான் வடிவக் கணிதக் கொள்கையின் அடிப்படை இதுவே. அத் தகைய மடிப்பைப் பற்றிய கொள்கை, கணக்கோட் பாடு, சார்பியல் இவற்றிற்குள்ளும் ஊடுருவுகிறது. (1 + x)* = 1 + 2x + x' எனும் எளிய விளைவு (1+x)n = 1 + எனும் ஈருறுப்புக் கெழுக்களாகும். இவ்வாய்பாடு கெழுக்களைப் பிறப்பிக்கும் தொடர்பாகும். n முழு எண்ணாக அமையாத மெய்யெண்ணாகவோ சிக்க லெண்ணாகவோ அமைந்தாலும் சமன்பாடு (4) இல் உள்ள கோவையை அமைக்கலாம். ×× | எனில் n - இன் எம்மதிப்பிற்கும் சமன்பாடு (3) பொருந்து மென நிறுவப்பட்டது. (3) இல் காணப்படும் விரிவு பொதுவாக ஒரு முடிவிலித் தொடரே; உண்மையில் அவ்விரிவு (1 + x) இன் டெய்லர் தொடராகும். x | 1 என்ற போது, n இன் பொது மதிப்பிற்கு மேற்காணும் தொடரின் தன்மையை ஆராய்ந்து, கணித வல்லுநர் ஏபெல், ஒருங்காத தொடர்களின் கூடுதல் பற்றிய ஆய்வுகட்கு அடிக்கல் நாட்டினார். எந்த ஒரு முழு எண்ணும் பகா எண்களின் தனித் தன்மை வாயந்த பெருக்கற் பலனாகும் என்னும் யூக்லிட் தேற்றத்தை 11 q = P₁ X P₂ X .. 297 X pk என்று வாய்பாடு வடிவில் பெறலாம். அக்காலத்தி லிருந்தே, பகாக் காரணியின் கோட்பாடும் தனிப் பட்ட விதத்தில் பகாக் காரணிகளாகப் பகுப்பது பற்றிய தேற்றத்தின் ஆராய்ச்சியும் கணக்கீடு (arithmetic), இயற்கணிதம் இவற்றின் தலையாய கொள்கையாக உள்ளன. வட்டத்திற்கான வாய்பாடுகள் 1 = 2£r, கே காளத்திற்கான வாய்பாடுகள் A = 4rr, V 4 J A = r²: இவற்றின் மூலம் பழங்காலத்திலிருந்தே நன்கு அறியப் பட்ட மாறிலி ஈ, லெபீனீட்ஸ் என்பாரால் விக்கப்பட்ட 1 + வரு என்னும் வாய்பாட்டில் இடம் பெறுகிறது. இந்த அதிஇயல் எண்ணின் (transcendental number) தோராயக் கணக்கிடுதலுக்கு இரு வகை களும் பெரிதும் பயன்படுத்தப்பட்டன. எந்திரங்களின் பயன்பாடு உட்படா பதினெட்டாம் நூற்றாண்டில், வாய்பாடு கணக்கிடும் கணக்கிடும் 131 +.. (3) வேலை முறை தோற்றுவிக்கப்பட்டது. இயற்கை மடக்கையின் அடிப்படையான அதி யல் எண் e, என்றவாறு நியூட்டனால் பொதுவாக்கப்பட்டது. 1, co sp + sin o = e இங்கு கெழுக்கள் - (R) n(n-1) ... (n--k + 1) (4) 1.2.k முழுதும் என்னும் வாய்பாடுகளில் இடம் பெறுகிறது. இவ் வாய்பாடு கணிதம் அளவிட முடியாத
