கணிதம் 395
விளைவுகளைத் தோற்றுவிக்கின்றது. தொன்று தொட்டு இருந்து வரும் தளக்கோணக் கணிதம் மேற் காணும் வாய்பாடுகளால் பெரிதும் சீர்படுத்தப் பட்டது. பதினெட்டாம் நூற்றாண்டின் இறுதியில் ஆவி லர், குவிந்த பன்முகிகளுக்கு e,-e, + e, = 2 என்னும் வாய்பாட்டைக் கண்டுபிடித்தார். இங்கே ,,, முறையே முனைகள், வெளிப் ஓரங்கள், பரப்புகள் இவற்றின் எண்ணிக்கையாகும். இதுவே, மூடிய ரீமன் வெளிப் பரப்புகளின் சார்பு ஆய்விலும் இயற்கணித வடிவக் கணிதத்திலும் முதற்படியாகும். பாயின்கேரா என்பாரின் சேர்க்கை இடத்தியலுக்குத் (combinatorial topology) தொடக்கமுமாகும். மேலும், பன்மடி வெளிகளின் பெட்டி (betti) எண்களுக்கான Bp = Bnp எனும் பாயின்கேரின் வாய்பாடு அனைவரையும் ஈர்க்கத்தக்க கூற்றுகளில் ஒன்றாகும். சிக்கலெண் சார்புகளின் ஆதார மையம் தத்துவத்தைப் பரப்பும் f(z) = $ f(L) (L-2) எனும் காசின் வாய்பாடாகும். கீழே விழும் gt என்னும் பொருளைப் பொறுத்து S வாய்பட்டால் உருக்கொடுக்கப்பட்டது கலிலியோவின் சாதனையாகும். மின்சாரத்தின் கூலூம் விதியைக் குறிக்கும் F mim 72 என்னும் வாய்பாடால் உருக்கொடுக்கப்பட்டது நியூட்டனின் புவியீர்ப்பு விதியாகும். காலம்-இடம்- பொதுத் தொடர்புத் தத்துவத்தின் சிறப்புத் தன்மை யிலிருந்து பெறப்பட்ட, ஐன்ஸ்டீனின் வாய்பாடு E=mc', அணு குண்டு உருவாகக் காரணமானது. கதிரி யக்கத்தில் விகிதப் பொருத்தமாக எலெக்ட்ரான்கள் வெளியாக்கப்படுகின்றன என்னும் கொள்கையிலிருந்து பெறப்பட்ட வாய்பாடு pq-qp= இன் ஹெய்சன்பெர்க்கின் விளக்கம் வேதாந்திகட்கு எரிச் சலூட்டுவதாக அமைந்துள்ளது. h 2 1 அடிப்படைகள்-கணித நியதி. கணிதம், சிறிது கூடப் பிசகில்லாமல், நிறுவக்கூடிய தன்மையைப் பெற்றி ருக்க வேண்டுமென்பது ஓர் முக்கிய கோரிக்கையாகும். கணிதம் 395 அதற்கு ஓர் எடுத்துக்காட்டு, தேற்றங்களில் கணித வலியுறுத்தல்களைப் பற்றிய யூக்லிடின் அறிமுக மாகும். சில ஒப்புக்கொள்ளப்பட்ட உண்மைகள் எனப்படும் சில குறிப்பிட்ட முதல் தேற்றங்கள் நிரூபணமின்றி ஒத்துக் கொள்ளப்பட்டன. பிற தேற்றங்கள் நிறுவப் பட்டவையாகும். ஒரு தேற்றத்தை நிறுவுதல் என்பது அத்தேற்றத்தைப் பிற தேற்றங்களிலிருந்து குறிப்பிட்ட உருவாக்கும் முறைகளையோ ஊகிக்கும் முறைகளையோ கொண்டு பெறுவதேயாகும். நீண்ட காலமாகவே, கணிதத்தின் ஒவ்வொரு கிளையும் அதன் ஒப்புக் கொள்ளப்பட்ட உண்மைகளின் அடைப்படையிலேயே அமைந்த வழக்கம் தொன்று தொட்டு இருந்து வந்தது. ஆனால் பத்தொன்பதாம் நூற்றாண்டில் கணிதத்தின் ஒரு கிளைக்கே மாறுபட்ட ஒப்புக்கொள்ளப்பட்ட அடிப் உண்மைகள் இருக்கலாம் என்பது பெறப் பட்டது. குறிப்பாக, இரு பரிமாண, முப்பரிமாண வடிவக் கணிதத்திற்கு மாறுபட்ட கூற்றுகள் தீர ஆராயப்பட்டன. இணைகோடுகளைப் பற்றிய ஒப்புக்கொள்ளப்பட்ட உண்மை மாறுபட்டதாகும். ஒப்புக்கொள்ளப்பட்ட உண்மைகளின் தொகுதி நியதியின் அடிப்படையில் ஒருங்கிசைவு பெற்றால் அதாவது ஒன்று மற்றதன் எதிர்க் கூற்றாக அமையும். இரு தேற்றங்களை ஒப்புக்கொள்ளப்பட்ட உண்மை களிலிருந்து பெற முடியவில்லையெனில், அத்தொகுதி கணிதத்தில் இயலும் என்று ஒத்துக் கொள்ளப் பட்டது. படை . அதே சமயம், ஒப்புக்கொள்ளப்பட்ட உண்மைகள் மட்டுமன்றி ஊக விதிகளு ரும் கூட மாற்றங்களுக்கு உட்பட்டே ஆக வேண்டும் என்னும் உணர்தலுக்குச் சில வளர்ச்சிகள் வழி காட்டின. முழுமை எனப்படும் மிகைப் பண்பு இருப்பின் கொள்ளத் தக்கதே. முறைப்படுத்திக் கூறப்பட்ட கூற்றைப் பொறுத்த வரை அக்கூற்றுப் பொருந்துமென நிறுவப்பட்டாலோ அக்கூற்றின் எதிர்க் கூற்றுப் பொருந்துமென நிறுவப் பட்டாலோ ஒரு தொகுதி முழுமையடையும். ஒரு தொகுதியில் ஒரு தேற்றம் பொருந்தி, அத்தொகுதி மாற்றத்திற்கு உட்படும்போது அதே கூற்றோ புதுத் தொகுதியில் மேற்காணும் கூற்றிற்குத் தக அமையும் கூற்றோ முழுதும் தவறாக அமையாவிட்டாலும், ஐயத்திற்குரியதாக அமையலாம். அன்றி, அக்கூற்று பொருந்தினால், அதற்குப் புதிய நிரூபணம் தேவைப் படலாம். ஏனெனில் இதற்குச் சிற்சில ஒப்புக்கொள்ளப் பட்ட உண்மைகளோ, ஊசு விதிகளோ இல்லாமலிருக் கலாம். மறுப்பு எடுத்துக்காட்டுகள். வகைப்படுத்தக்கூடிய சார்பு y = f(x), a<x<b இல் தொடர்ச்சியுடையது என்பது வகைக்கெழுவின் வரையறையிலிருந்து தெளி வாகிறது. இக்கூற்றின் மறுதலை உண்மையன்று மெய்பிக்கப்பட்டது. வெயிர்ஸ்டிராஸ் என்பது
