கணிதம் 397
12 இவ்விளைவைப் பெறலாம். தசம விரிதலுக்கு மாற் றாக மூன்று கொண்ட விரிதலின் மூலம் அதாவது 0, 41, ag, ag... எனும் விரிதலின் மூலம் 0x 1 எனும் எந்த எண்ணையும் குறிக்கலாம். இங்கு auga இவை ஒவ்வொன்றும் 0,1,2 இவற்றில் ஏதேனும் ஒரு மதிப்பைப் பெற்றிருக்கும். எப்புள்ளிகளின் விரிதலின் குறிகள் a,a... 1 என்னும் மதிப்பை ஏற் காமல் 0,3 மதிப்புகளை மட்டும் ஏற்குமோ அப்புள்ளி களை மட்டும் எஞ்சி நிற்கும் கணம் பெற்றிருக்கும். உருவாக்குதலும் தோராயங்களும். சில் கணித வல்லுநர்கள் வழக்கிலுள்ள நிரூபணங்களுக்கு மறுப்புத் தெரிவிக்கின்றனர். மேலும் எந்த நிரூபணமும் உருவாக்குந் தன்மையுடையது என்று வா திடு கின்றனர். இவ்வாதத்தின் விளக்கங்கள் பரவலாக மாறுபடுகின்றன. சில நிரூபணங்கள் அனுபவமுள்ள கணித வல்லுநர் வரவேற்கும் நிரூபணங்களை நெருங்குகின்றன. சான்றாக, ஒரு தேற்றம் ஒரு எண்ணின் அல்லது ஒரு சார்பில் இருத்தலை வலி யுறுத்தினால், அதன் நிரூபணம் தீர்வின் உண்மை யான கணக்கீட்டைத் தோராயமாகவாவது காண இக் ஒரு முறையை வகுக்க வேண்டும். ஊகத்தின் கூட்டைத் தவிர்ப்பது என்னும் குறைத் தேவையைத் தவிரப் பிற தேவைகளைச் சற்றே, பிற கூற்றுகள் நிறைவு செய்கின்றன. இரண்டையும் சேர்க்கும் கருத்துக்களும் உள. இறுதியில் கூறியவற்றில் நன்கு அறியப்பட்டது உள்ளுணர்வுக் கருத்தாகும். கருத்து, தற்கால கணக்கீட்டு எந்திரங்களால் கணக் கிடப்படுவது குறித்து எவ்வித உத்திரவாதமும் அளிக்காத ஒரு வகை அமைத்தலை உறுதியாக்கு கிறது. எனினும் உள்ளுணர்வு முறை பரவலாகத் தெரிவதுதான் முரண்பாட்டைக் கையாளு ம் நிரூபணம் ஒத்துக் கொள்ளப்பட மாட்டாது என்பது; இதை ரட்டை மறுப்பைக் கையாளும் நிரூபணம் என்பர். நிரூபிக்கப்பட வேண்டிய கூற்றுத் தவறு என்ற தாற்காலிக மேற்கோளின் அடிப்படையில் முன்னமே நிலைநாட்டப்பட்ட தோற்றத்திற்கு முரண்பாடு கொண்டுள்ளது என்று நிறுவுவது அரிஸ்டாட்டிலின் காள்கை ஆகும். இம்முறை அமைத்தலைப் பொறுத்து அனுபவ முறையில் பெற்ற கோரிக்கைக் கும் அனுபவமுறையில் பெறாத கோரிக்கைக்கும் ஒரு வேறுபாடு உளது. சில சமயம், அமைத்தல் முறையைக் கையாளாது ஒரு சார்பின் இருத்தலை நிறுவி, அதன் பிறகு, இருத்தல் கூற்றின் அடிப் படையில் சமாளிக்கக்கூடிய அமைத்தலுக்கு ஒரு முறையைக் காண முடியும்; அனுபவ முறைக்கணிதத் திற்கு இம்முறை நிறைவளிக்கும். அனுபவ முறையற்ற கணிதத்திற்கு நிறைவளிக்காது. தர்க்கமுறை அமை யாத அமைத்தலுடன் தொடர்பு கொண்ட கோரிக்கை என்பது தோராயத்தை உள்ளடக்கிய முறை கையாளப்படும்போது தோராயத்தின் தரத்தை மதிப்பீடு செய்வதாகும். கணிதம் 397 இதற்கு ஓர் எடுத்துக் காட்டு மீதி உறுப்புடன் கூடிய டெய்லர் தொடருக்கான லாக்ரங்கேயின் (Lagrange) விளை வாகும். இவ்விளைவின் கூற்று பின்வருமாறு; 1 எனும் இடைவெளியில் f(x) என்னும் சார்புக்கு n வகைக்கெழுக்கள் இருப்பின், f(x) = pa (x) + Ra (x); இங்கே 0 X n Pn (x) = Σ m=0 - என்பது பல்லுறுப்புக் கோலை; 0 <1ல்/f(x) இன் மீப்பெரு மதிப்பு Mg எனில், பிழை உறுப்பு R{x} எண் மதிப்பில் M⟫ ஆல் வரம்பிடப்பட்டது, இவ் விளைவு கீழ்க்காணும் தலைப்பிற்கு வழி காட்டு கிறது. f(x) க்கு n வகைக்கெழுக்கள் இருந்தால் மட்டுமே, பல்லுறுப்புக் கோவை (7) ஐ உருவாக்க முடியும். எனினும், ax b என்னும் இடைவெளி யில் மட்டும் தொடர்ச்சியுள்ள எந்தச்சார்பு f(x) யும் ... (8) pa (x) = a X + a x1 + + an என்னும் பல்லுறுப்புக் கோவைகளால் சீராகத் தோராயப்படுத்தலாம் என்று வெயிர்ஸ்டிராஸின் ஒரு தேற்றம் கூறுகிறது. இத்தேற்றத்தின் ஒவ்வொரு நிரூபணமும் அப்பல்லுறுப்புக் கோவைகளை உண் டாக்குகின்றது. எவற்றிற்கெல்லாம் தோராயம் ஒரு சிறந்த முறையோ அவற்றையெல்லாம் விரிவான கோட்பாடும் உளது. அடைய சாதாரண பல்லுறுப்புக் கோவைகள் (8) ஆல் தோராயமாக்கப்படாமல் கோண கணிதப் பல்லு றுப்புக் கோவைகள் Sa (X) n -1 a. +Σ (an cos mx+bm sinmx) (9) m=1 (9) ஆல் தோராயமாக்கப்படுவது, கணித முறைகளுக்கு அடிகோலுகிறது, Max தற்காலத்திய O<x<2 f(x)-Sn(x) (10) எனும் வேறுபாட்டைச் சிறியதாக்க விரும்பினால் ஃபூரியர் தொடர்(5)இன் பகுதிக் கூடுதல்கள் நன்மை பயக்கக் கூடியவையல்ல. எனினும், பகுதிக் கூடுதல் அவற்றின் கணக்கீட்டுச் சாராசரிகள் S,+51 +... + Sn_1 என்ற கூடுதலால் ஃபிஜர் களை On n
