398 கணிதம்
398 கணிதம் (Fejer) மாாற்றியமைத்ததால், தோராயமாக்குதலின் தரம் உயர்த்தப்படுகின்றது. σ (x) = 1 a a, + 1 m= n m n (amcosmx + bm sin mx) பல்லுப்புக் கோவைகளே. இதை விடச் சிறந்த முறை யில் தோராயமாக்கப்படும் சராசரிகளும் உள. பகுப் பாய்வு நிகழ்தகவு, புள்ளியியல் பொறுத்த வரை முக்கியத்துவங் கொண்ட சராசரியாகும் முறைகளைப் பற்றியதாகும். பெஸல். பார்செரல் (19ஆம் நூற்றாண்டு) ஆகியோர் வழியில் தோராயமாக்கு தலின் தரத்தின் அளவையாகக் கோவை (10) ஐ 20 27 2 1/2 dx (11) எனும் கோவையால் மாற்றியமைத்தால், பெரும் வளர்ச்சி தொடங்குகிறது. இவ்வகையில் சாதாரண ஃபூரியர்- தொடருக்கு மட்டுமன்றிப் பொதுவாகச் செங்கோணத் தொடருக்கும் எவ்வரிசை எண்பிக்கும் ஃபூரியர் தொடரின் பகுதிக் கூடுதல்கள் சிறந்த தோராயமாக்கும் கூடுதல்களாகும். இவ்விளக்கம் பகுப்பாய்வு, இயற்கணிதம், நிகழ் தகவுக் கோட் பாடு. கதிரியக்கக் கோட்பாடு, இயற்பியலின் பிற பகுதிகள் இவற்றில் பெருந்திரளான, தொடர்பான, ஒத்த விரிவுகளுக்கு நீட்டிக்கப்படுகிறது. தோராய மாக்குதல், விலக்கம், பரவல் இவற்றின் அளவை அறிவியலில் மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கிறது. கணிதத்தில் வெளி. படங்களின் அளவுகள் நீளம், பரப்பு, கனபரிமாணம், கோணங்களின் அளவுகள், இவற்றுடன் கணிதம் தொடங்கியது. படங்களின் உருவத்துடன் தன்னைத் தொடர்புபடுத்திக் கொள்ள வில்லை. ஆனால் படங்கள் எப்போது ஒன்றுக்கொன்று சமம் அல்லது வடிவத்தைப் பொறுத்துச் சமம் என்ப தைத் தீர்மானிப்பதுடன் முடிவுற்றது. வடிவக் கணிதத்தின் முதல் உண்மையான கோட்பாடு கிரேக் கர்களைச் சார்ந்ததாகும். கிரேக்கர்களின் முதல் பணி படங்களின் சமத்துவம், அவற்றின் சர்வ சமத்துவம், வடிவொத்தமை ஆகிய அடிப்படைக் கோட்பாட் டைப் பயிலுவதாகும். படங்களின் அளவுகளை மட்டும் அளத்தல் என்னும் செயலிலிருந்து மேலும் முன்னேற்றம் கண்டனர் கிரேக்கர்கள். விரிவான பணி எடுத்துக்காட்டாக, யூக்லிடின் விரிவான உண்மையான அளவுகளைத் தவிர்க்கிறது. பிதகோர ஸின் தேற்றமாகிய c" = a2+b' இல் எண்களு ருக் கிடையே சமத்துவத்தைக் குறிப்பதற்கான குறிப்பு எதுவுமில்லை. அது, சர்வ சமத்துவத்தின் அடிப்படை க யில் பரப்புகளுக்கிடைப்பட்ட சமத்துவம்தான்; மூன்று சதுரங்களில் இரண்டு துண்டுகளாக வெட்டப்பட்டுப் பிறகு மூன்றாம் சதுரத்துக்குள் சேர்க்கப்படுகின்றன. அதன் நோக்கங்கள் எத்துணை உயர்ந்ததாயினும், வெளியின் கணிதப்பிரச்சினையுடன் ஈடு கொடுக்க முடியாத அளவிற்குக் கிரேக்க கணிதம் மிகையான நியதிகள் நிறைந்தது. அது முன்னேற்றம் எதுவுமில் லாமல் நின்று விட்டது. வடிவக் கணிதம், வளர்ச்சி ஏதும் அடையவில்லை. டேகார்டே, அவர் தம் முன் ளோர்கள் ஆகியோரால் அறிமுகம் செய்யப்பட்ட ஆயத்தொகுதிகளால்தான் கணித வெளி முன்னேறத் தொடங்கியது. இரு பரிமாண அல்லது முப்பரிமாண யூக்லிடியன் வெளியில் கார்டீசியன் ஆயத்தொகுதி செதுக்கப்பட் டால் புள்ளி கணமாகிறது; ஒவ்வொரு புள்ளியும் மெய்யெண்களின் ஜோடி (x, x*) ஆகவோ மூன்று சேர்ந்ததாகவோ (x, x2. x3) அமைகிறது; எப்பட மும் தகுந்த உட்கணமாகிறது. இது தொடங்கு மிடத்தில் வெளியையும் எண்ணையும் ஒன்று சேர்க் கும், தீர ஆய்ந்து செய்யப்பட்ட, வெளியின் கணக் கீட்டு முறையாகும். இம்முறை, உருவத்தைப் பொருத்தப் பிரச்சினைகளைத் தொடரும் வேலையில் வடிவக் கணிதத்தைத் தடை செய்யவில்லை அன்றி உதவுகிறது. கார்டீசியன் தளத்தில் yl = al+a, x'+a, 'x', y2 =a' + a,} x + a,'x2 (12) இம்மாறுபாட்டுச் சமன்பாட்டின் மூலம் ஒரு படத்தில் உள்ள புள்ளிகளிலிருந்து மற்றொரு படத்தில் உள்ள புள்ளிகளை அடைய முடிந்தால் அவ்விரு படங்களும் ஒன்றுக்கொன்று வடிவொத்தன என்று கூறப்படும். இங்கு 1 a₁₁a," + a¹ a³, ஏதோ ஒரு p o எனில் (13) (α,¹)² + (α²₂)² = (α₁²)" + (a*₂)* = p² (14) p=1 என்றால், என்றால் மட்டுமே, மேற்கண்ட வடிவொத்தமை சர்வ சமத்துவமாகும் (செங்கோண மாற்றம்). சர்வ சமத்துவம், வடிவொத்தமை பற்றிய இப் பகு முறைக் கூற்று மிக்க பொதுப் படை ஒரு படி மாற்றங்கள் (12) இன் வடிவக் கணிதப் பரிசீல னையைத் தோற்றுவிக்கிறது. மேற்காணும் மாற் றங்கள் சிறப்பிலா மாற்றங்கள் அதாவது அணிக் கோவை la lo யூக்லிடின் வடிவக் கணிதத்தின் இணைகோடுகள் பற்றிய ஒப்புக்கொள்ளப்பட்ட உண் மைகளை அவை எடுத்துக் காட்டுகின்றன என்றாலும் அவை கிரேக்கர்களுக்கு முற்றிலும் தெரியவில்லை. கார்டீசியன் தளத்தின் ஒன்றுக்கொன்று மாற்றம், ஒரு நேர் கோட்டை மற்றொரு நேர் கோட்டிற்கும்,
