680 கருத்தியல் படிமங்களிலிருந்து நடைமுறை உலைகளின் வேறுபாடுகள்
680 கருத்தியல் படிமங்களிலிருந்து நடைமுறை உலைகளின் வேறுபாடுகள் Ax + 2 Bxy +cy' (A, B.Cமெய்யெண்கள்) என்ற இருபடிச் சமபடித்தான பல்லுறுப்புக் கோவையை ஒரு மெய்யெண்ணுக்குச் சமன்படுத்தும் போது அது ஒரு கூம்புவளையைக் குறிக்கும். இது நீள்வட்டம் அல்லது பரவளையம் அல்லது அதிபர வளையமாக இருப்பது மேற்காணும் கோவையின் தன்மை காட்டி B -Ac பூஜ்ய த்தைவிடக் குறை வாகவோ சமமாகவோ மிகுதியாகவோ இருப்பதைப் பொறுத்து அமையும் என்பதைச் சில்வஸ்டர் றிந்தார். கண்ட இதே நூற்றாண்டில் வாழ்ந்த ஜார்ஜ்பூல் என்பவ ரால் வளர்க்கப்பட்ட கருத்தியல் இயற்கணிதம் பிறர் தம் கருத்தியல் இயற்கணித ஆய்வுகளினின்றும் 1954 ஆம் முற்றிலும் மாறுபட்டு அமைந்திருந்தது. 'Investigation of ஆண்டு இவரால் எழுதப்பட்ட the laws of Thought' என்ற நூல் கணித வரலாற்றில் சிறப்பான இடத்தைப் பெறுகிறது. இதை அடிப் படையாகக் கொண்டுதான் பூலியன் இயற்கணிதம் உருவாயிற்று. இதுவரை பார்த்திராத சில விந்தை யான விதிகள் பூவியன் இயற்கணிதத்தில் உண்மை யாவதைக் கண்டனர். அவை 1+1=1; X X=X மற்றும் Zx = Zy எனும் சமன்பாட்டிலிருந்து x =y உண்மையாக வேண்டும் என்பது தேவையில்லை, தன் கொள்கைகள் கூட்டல், பெருக்கல் செயல் முறைகளுக்குப் பதிலாகக் கணக்கொள்கைச் செயல் முறைகளான சேர்ப்பு (U) வெட்டு (n) ஆகி ஆகிய வற்றை உட்புகுத்தி அருவமான கருத்தியல் முறை யில் கணங்களுக்குப் பொதுமைப்படுத்தப்பட்டன. அகிலம் அல்லது அகிலகணம் 1-உடனும். வெற்றுக் கணம் 0.உடனும் ஒப்பிடப்படும். பூலியன் இயற்கணிதக் கொள்கைகள் தொகு கணிதத்திற்கு மட்டுமன்றி, கணிப்பொறி அறிவியல், காப்புச் செய் தித் துறைகளிலும் பெரிதும் பயன்படுகின்றன. இறந்தபின் டீமார்கன், பெஞ்சமின் பெர்சே ஆகி யோர் பூலின் ஆய்வுகளைத் தொடர்ந்து நடத்தி இருமை விதிகளையும். கொள்கைகளையும் கண் டறிந்தனர். சாதாரண இயற்கணிதம் வெக்டர் பகுப்பாய்வு, குவாட்டர்னியான்கள் அடங்கிய நேரிய சேர்ப்பு இயற்கணிதப் பிரிவைப் (linear associative algebra) பெஞ்சமின் உருவாக்கினார். ஆக்டானி யான்கள் எனப்படும் பைகுவாட்டர்னியான்களைக் கிளிஃபோர்டு கண்டுபிடித்தார். பரிமாற்று உண்மையாகாத இயற்கணித அமைப்புகளுக்கு வை சிறந்த எடுத்துக்காட்டுகளாகும். விதி கருத்தியல் இயற்கணிதத்தின் மைய விசையாக விளங்கக்கூடிய வடிவமைப்புகளில் குறிப்பிடத்தக்கது குலம் ஆகும். கேல்வா என்பார் இதற்குக் குலம் [group] எனப் பெயரிட்டார். காஸ் என்னும் கணித அறிஞர் முழு எண் தொகுப்பு அமைக்கும் வளையம் என்னும் வடிவமைப்பை a + bi [a, b முழு எண்கள்] என்றவாறு அமையும் எண்கள் யாவும் அடங்கிய இத் தொகுப்புக்கு விரிவுபடுத்தினார். தொகுப்பு அவர் பெயராலேயே காஸியன் முழு எண் வளையம் எனப்படுகிறது. மேலும், இத்தகைய அமைப்புகள் வளையத்தினின்றும் வளர்ச்சியுற்று பூஜய வகுப்பான்கள் பெறாத எண் அரங்கங்களாக அமைவதைக் கண்டனர். முழு எண் வளையத்தில் ஒவ்வொரு பகு எண் ணையும், பகா எண்களின் பெருக்கற்பலனாக ஒரே ஒரு வழியில் எழுத முடியும் என்னும் வளையத்தை உருவாக்கினர். கும்மர் என்பார் சீரிய கணம் எனப் படும் சிறப்பான உள் வளையங்களைக் கண்டுபிடித் தார். குலம், ஓர் ஈருறுப்புச் செய்கையின் கீழ் சில கட்டுப்பாடுகளையும், வளையம் இரண்டு ஈருறுப்புச் செய்கைகளின்கீழ் சில கட்டுப்பாடுகளையும் உண்மை யாக்கும் வடிவமைப்புகளாகும். இந்த இரண்டு ஈருறுப்புச் செய்கைகளையும் பொறுத்துப் பரிமாற்றக் குலமாக விளங்கும் வடிவமைப்பு, களம் எனப்பட்டது. இவ்வமைப்பைக் கண்டறிந்த பெருமை ஏபெல். கேல்வா ஆகியோரைச் சாரும். முடிவான களம் ஒவ் வொன்றும் கேல்வா களம் எனப்பட்டது. கேல்வா வின் ஆய்வு ஒரு குறிப்பிட்ட களத்தில் கெழுக்களைக் கொண்ட சமன்பாடுகள் அக்களத்தில் தீர்வுகளைப் பெற்றிருக்கின்றனவா என்பது பற்றியும், விரிவு படுத்தப்பட்ட களத்தில் அவற்றின் தீர்வுகளைக் காணமுடியுமா என்பது பற்றியும் அமையும். குரெனெக்கர் என்பார் a, b விகிதமுறு எண் களாயின் a + bJ/2 வடிவில் அமைந்த அனைத்து மெய்யெண்களும் ஒரு முடிவற்ற களத்தை அமைக் கும் எனக் கண்டார். பியானோ என்பார் தம் கோட் பாடு. இயற்கணிதத்தின் இன்றைய வளர்ச்சிச்கு அடி கோவிற்று. 1920, 1940 ஆண்டுகளுக்கு இடைப் பட்ட காலப்பகுதியில் கருத்தியல் இயற்கணிதத்தின் முக்கிய அடிப்படைக் கோட்பாடுகள் பலவும் காணப் பட்டன. இவற்றை இயற்கணிதத்திலும், பகுப்பாய் விலும் பயன்படுத்தியதன் வாயிலாகத் தோன்றியது அமைப்பொத்த தர்க்க இயற்கணிதமாகும். 1955ஆம் ஆண்டில்தான் இப்பிரிவின் முதல் நூல் வெளியிடப் பட்டது. மேலும், இப்பிரிவு சுருத்தியல் இயற்கணிதத் தின் விரிவாக்கமாகும். இதன் கொள்கைகள் பல் வேறு வகையான வெளிகளுக்குப் பயன்படுகின்றன. தற்காலத்தில் கருத்தியல் இயற்கணிதம், கணிதத்தின் பிற பிரிவுகளில் மட்டுமன்றி, கணிப்பொறி அறிவியல் போன்ற பல்வேறு அறிவியல் துறைகளிலும் பெரு மளவு பயன்படுகிறது. ரகீம்பாட்சா கருத்தியல் படிமங்களிலிருந்து நடைமுறை உலைகளின் வேறுபாடுகள் வேதிப் பொருள் தயாரிப்பில் பயனாகும் இரு உலை களுக்கு (வினைக்கவன்களுக்கு) கருத்துப் படிமங்கள்
