792 கலப்பெண் பகுப்பாய்வு
792 கலப்பெண் பகுப்பாய்வு f'(Z) = எல்லை [(Z)-f(Z,) Z→ Zp 2-7. f(Z) என்னும் சார்பு D என்னும் அரங்கத்தில் ஒரு மதிப்புடைய சார்பாகவும் அரங்கத்தின் அனைத் துப் புள்ளிகளிலும் வகையிடத்தக்கதாகவும் இருந் தால் அது ஒழுங்கமைந்த சார்பு எனக் கூறப்படும். ஓர் ஒழுங்கமைந்த சார்பு பகு முறைச் சார்பு அல்லது ஹோலோமார்பிக் சார்பு என்றும் கூறப்படும். மெய்யெண் பகுப்பாய்வில் பொதுவான அனைத்து விதிகளும் கலப்பெண் மாறியின் சார்பிற்கும் பொருந் தும். எனவே இரு பகுமுறைச் சார்புகளின் கூட்டல் கழித்தல். பெருக்கல் வகுத்தல் (பகுதி பூஜ்ய மாக இல்லாவிட்டால்) ஆகியவையும் பகுமுறைச் சார்பாகும். மேலும் n ஒரு நேர் முழு எண் ஆக இருந்தால் Z ஒரு பகுமுறைச் சார்பாகும். எனவே அனைத்துப் பல்லுறுப்புக் கோவைகளும் விகிதமுறு சார்புகளும் (பகுதி பூஜ்யமாக இல்லாவிட்டால்) பகு முறைச் சார்புகள் ஆகும். f(Z) = u (x,y) + iv (x,y) என்பது D என்னும் அரங்கத்தில் பகுமுறைச் சார்பாக இருந்தால் அதன் மெய்மாறிகளின் சார்புகளான ப x,y), v, x,y) என்பன கோஷி-ரீமான் நிபந்தனைக்கு அதாவது คน ax = by av 0 x உட்படும் பகுதி வகைக்கெழுக்களைப் பெற்றிருக்க வேண்டும். மறுதலையாவது இரு மெய் மாறிகளின் சார்புகள் தொடர்ச்சியானபகுதி வகைக்கெழுக்களைப் பெற்றிருந்து அவை கோஷி-ரீமான் நிபந்தனைக்கு உட்பட்டிருந்தால் f(Z) = u(x,y) + iv (x,y), Dஇல் ஒரு பகுமுறைச் சார்பாக இருக்கும் இதில் மெய்மாறி களின் சார்புகளான u(x,y) உம், v(x,y) உம் இணை இசைச்சார்புகள் அல்லது பரிமாற்றுச் சீரிசைச் சார்பு து கள் (conjugate harmonic function) எனப்படும். u(x,y) என்னும் ஒரு சார்பு லாப்லாஸ் சமன்பாடான = 0 என்பதற்கிணங்க ay" தால் அது சைச்சார்பு அல்லது சீரிசைச் சார்பு எனப்படும். ஒரு பகுமுறைச் சார்பின் மெய்ப்பகுதியும். கற்பனைப் பகுதியும் இசைச் சார்புகள் ஆகும். + இருந் கோணம் மாறா மாற்றம். புவியியல் வரைபடங் களை உருவாக்க, கோணம் மாறா நிலையுறு மாற்றம் conformal mapping) மிகவும் இன்றியமையாதது. ஏனெனில் புவியின் மேற்பரப்பு, கோள வடிவில் உள்ளது. எனவே இதைத் தட்டையான பரப்பின் மீது அனைத்துத் தொலைவுகளின் விகிதங்களும் மாறாமல் எளிதாகக் குறிக்க முடியாது. கணித முறையில், கோண அளவும் திசையும் மாறாத உருவ மாற்றங்களால் மட்டுமே இதைக் கையாள முடியும். மேலும் அதைச் சார்ந்த உருவ அமைப்பின் வடிவங் கள் ஒவ்வொரு புள்ளியின் சுற்றுப்புறத்திலும் மாறா மல் அமைய வேண்டும். இத்தகு மாற்றத்தைக் கோணம் மாறா நிலையுறு மாற்றம் எனக் கூறலாம். மெர்கேட்டர் மற்றும் முப்பரிமாண வரைபட எறியங் களை (stereographic projection) இதற்கு எடுத்துக் காட்டுகளாகக் கூறலாம். மேலும் கோண அளவு மட்டும் மாறாமல் இருக்கக் கூடிய ஒரு மாற்றம் கோண அளவு மாறா உருமாற்றம் (isogonal mapping) எனப்படும். மேலும் D என்னும் அரங்கில் f (Z) பகுமுறைச் சார்பாகவும். f(Z)0 ஆகவும் இருந்தால் அவ்வரங் கத்தில் w =-f(Z) கோணம் மாறா நிலையுறு மாற்ற மாகும். ஒருசில கோணம் மாறா மாற்றங்களின் மூலம் பாய்பொருள் இயக்கவிசையியலிலும் (fluid dynamics) வான் எந்திரவியலிலும் (aerodynamics) சில பொறிகளை வடிவமைக்க முடியும். அடுக்குத்தொடர். பகுமுறைச் சார்புகளில் ஓர் அடிப்படைத் தொகுதியே அடுக்குத் தொடர் ஆகும். இதைப் பின்வருமாறு வரையறை செய்யலாம். aor a1 a2 AL என்பவை கலப்பெண் மாறிலிகளாகவும், 7 ஒரு கலப்பெண் மாறியாகவும் இருந்தால் (z-a) இன் நேர் முழு எண் அடுக்குகளை முறையே a.aa. an ஆகியவற்றால் பெருக்கியதன கூடுதலே அடுக்குத் தொடர் ஆகும். இதை 2 ap(z-a)" எனக் குறிப்பிட 00 n=0 லாம். கொடுக்கப்பட்ட கலப்பெண் மாறி Z க்கு ஓர் அடுக்குத் தொடரின் பகுதித் தொகைத் தொடர்கள் (sequence of partial sums) ஓர் எல்லைக்கு ஒருங்குமானால் அவ்வடுக்குத் தொடர் ஒருங்கல் தொடர் (convergent series) ஆகும். z=a என்னும் புள்ளியில் மட்டுமே சில தொடர்கள் ஒருங்கும். அதற்கு மாறாக R இன் அனைத்து மதிப்பு களுக்கும் சில தொடர்கள் ஒருங்கும். பொதுவாக அனைத்து அடுக்குத் தொடர்களுக்கும் Rஎன்னும் ஒரு நேர்எண் ஒருங்கல் ஆரமாகவும், | z -a | = R என்னும் வட்டம் ஓர் ஒருங்கல் வட்டமாகவும் இருக்கும். இவ்வட்டத்தின் உட்புறத்தில் ( | z-a [ < RJ அடுக்குத் தொடர் அற ஒருங்கல் தொடராகவும், இதன் வெளிப்புறத்தில் விரிதொடராகவும் இருக்கும். மேலும் ஒருங்கல் வட்டத்தினுள் அடுக்குத்தொடர் ஒரு பகுமுறைச் சார்பாகும். மேலும் p<R இருக்கும் போது |z-a | <p என்னும் பகுதியில் அடுக்குத் தொடர் சீராக ஒருங்கும். ஒருங்கல் ஆரம், எல்லை R I எல்லை உச்ச என ஹட Tan T மார்ட் என்பவரால் வரையறை செய்யப்பட்டுள்ளது.
