கலப்பெண் பகுப்பாய்வு 793
கலப்பெண் பகுப்பாய்வு 793 (b-a). ஈருறுப்புத் டெய்லர்தொடர். (z-a) ஐ (z-b) + (b-a) என எழுதலாம். அதாவது (z-b) = (z-a) b-a | < R ஆக இருக்கும்போது தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி இதை விரித்தெழுதி அதன் உறுப்புகளை முறையே a a ag an ஆசிய வற்றால் பெருக்கியதன் கூடுதலே டெய்லர் தொடர் ஆகும். இத்தொடரில் உள்ள கெழுக்கள் aga ஆகியவை Z=a என்னும் புள்ளியில் உள்ள f(z) இன் வகைக்கெழுக்களை வைத்து நிர்ணயிக்கப்படுகின்றன. அதாவது, f (z) fk (a) (z - a) இத்தொடர் குறைந்தது | z-a | < R என்னும் பகுதியில் ஒருங்கல் தொடராக இருக்கும். தொடரின் ஒருங்கல் ஆரம் இம்மதிப்பைவிடக் கூடுத லாக இருந்தால் இப்புதிய அடுக்குத்தொடர், முதல் ஒருங்கல் வட்டத்தின் ( | z-a | = R) ஒரு பகுதியின் மேல் அமையும் மற்றொரு ஒருங்கல் வட்டத்தில் ஒரு பகுமுறைச் சார்பை வரையறுக்கும். அப்பொது வானப் பகுதியில் இரு சார்புகளும் சமமாகவும் அவ் வட்டங்களில் உள்ள பிற இடங்களில் இச்சார்புகள் ஒன்றுக்கொன்று பகு இயல் சார்பின் தொடர்ச்சி யாகவும் இருக்கும். இதே முறையைப் பயன்படுத்தி மேலும் பல புதிய அடுக்குத்தொடர்களை நிறுவலாம். இவ்வடுக்குத் தொடர்களின் கணத்தை VOL 7 f(z) 120 n=0 An (Z-2) என்று முதன்முதலில் கூறியதைப் பகுமுறைச் சார் பாகவும், இக்கணத்திலுள்ள ஒவ்வோர் அடுக்குத் தொடரையும் இதன் உறுப்பாகவும் குறிப்பிடுவது வழக்கம். பகு இயல் தொடர்ச்சி (analytic continuation) வரையறை, D, என்னும் பகுதியில் f (z) ஒரு பகுமுறைச்சார்பு எனலாம். D. என்னும் பகுதியில் f,(z) ஒரு பகுமுறைச் சார்பு எனலாம். மேலும் 2 D, ^ D, = D. எனலாம். n = 12 D,, இல் f (z) = f,(z) எனலாம். இப்போது f (z) என்பது, D,, வழியாக f,(z) இன் பகு இயல் தொடர்ச்சி எனவும், f (z) என்பது, D, வழியாக f,(z) இன் பகு இயல் தொடர்ச்சி எனவும் கூறப்படுகின்றன. இதையே, D.U.D, இல் f(z) என்னும் பகுமுறைச் சார்பு உள்ளது என்றும் அது f,(z) D, D12 f₂(z) f(z) = { f,(z), D, ல் f,(z), D, ல் எனக் கூறலாம். இதேபோல f(z) என்னும் பகு முறைச் சார்பை D, UD, UD.... என்னும் பெரிய பகுதிக்கு விரிவாக்கலாம். இச்சார்புக்கு முழுமைப் விரிவாக்கு பகுமுறைச்சார்பு எனப்பெயர். இதை வதற்கும் ஓர் எல்லை ஒரு உண்டு. இந்த எல்லை மூடிய வளைவரையாக இருக்கும். இதற்கு இயற்கை எல்லை எனப்பெயர். சிலசமயங்களில் வட்டத்திற்கு வெளிப்புறத்தில் அடுக்குத்தொடர் தொடர்ச்சியாக இல்லாவிட்டால் அவ்வொருங்கல் வட்டம் k(z) இன் இயற்கை வரம்பாகக் காணப்படும். மேலும் டெய்லர் இம்முடிவிலா பூஜ்யத்தை மையமாக வைத்து ஒருங்கல் தொடரைப் எழுதினால் (a=0 சமன்பாடு ஒன்றில்) அது மெக்லாரின் தொடர் என்னும் அடுக்குத் தொடர் ஆகும். 00 லாரன்ஸ் தொடர். (Laurentz series) பொதுவாக I an (Z-a)n என்னும் அடுக்குத்தொடரை எடுத்துக் காண்டால் அது R< | Z-a | R, என்னும் வட்ட வளையப்பகுதியில் மட்டுமே ஒருங்கல் தொடராக இருக்கும். மறுதலையாக f(Z) என்பது R,< \ {Z-a}| <R. என்னும் வட்ட வளையப்பகுதியில் பகு முறைச் சார்பாக இருந்தால் அதை f(Z) Σa.(Z-a)" 00 -00 என்னும் அடுக்குத் தொடராக எழுதலாம். இதில் an 1 27 じ f(t)dt (t-a)++, ஆகும்.C என்பது | t-a | = r என்னும் வட்டம் ஆகும். T இனுடைய மதிப்பு R, க்கும் R, க்கும் இடையே இருக்கும். இது லாரன்ஸ் தொடர் எனப் படும். இதில் R, பூஜ்யத்திற்குச் சமம் ஆனால் f{Z), o< | Z-a | <R, என்னும் பகுதியில் மட்டுமே பகு
