காரணியப் பெருக்கம் 439
காரணியப் பெருக்கம் 439 பல் மேலும் a, b என்னும் இருமுழு எண்களின் பொதுக் காரணிகளின் மீப்பெருமதிப்பு d எனில் M.த என்னும் இரு முழு எண்களை a+b= d மாறு காண முடியும் என்பதை நிரூபிக்கலாம். முழு எண்களுக்கு உரித்தான இச்சிறப்புப் பண்புகளைப் பொதுமைப்படுத்தி, தனித்த காரணிப்படுத்தல் அரங் கம் என்னும் இயற்கணிதத் தொகுப்பை, கருத்தியல் இயற்கணிதத்தில் ஏற்படுத்தினர். இத்தகைய இயற் கணிதத் தொகுப்புகளில் குறிப்பிடத்தக்கது லுறுப்புக்கோவை வளையம் ஆகும். முழு எண்களைக் கெழுக்களாகக் கொண்ட ஒரு பல்லுறுப்புக் கோவை யில் அக்கெழுக்களின் மீப்பெரு பொதுக்காரணி 1 எனில் அது மூலப்பல்லுறுப்புக்கோவை எனப்படும். 19 ஆம் நூற்றாண்டில் வாழ்ந்த காஸ், ஐன்ஸ்டைன் ஆகியோர் பல்லுறுப்புக் கோவைகளுக்குரிய காரணிப் படுத்துதலில் பின்வரும் கோட்பாடுகளைக் கண்டு பிடித்தனர். காஸ் முற்கோன் (Gauss Lemma). f{x) என்னும் மூலப் பல்லுறுப்புக்கோவை விகிதமுறு எண் கெழுக்கள் கொண்ட இரண்டு பல்லுறுப்புக் கோவை களின் பெருக்கற்பலனாசுக் காரணிப்படுத்த முடியு மாயின் f(x) ஐ முழு எண் கெழுக்கள் கொண்ட இரண்டு பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் பெருக்கற்பல னாகவும் காரணிப்படுத்தலாம். 2 ஐன்ஸ்டீன் அடிப்படைத் தத்துவம். f(x) = a + ag x + a, x + + anX* என்பது முழு எண் கெழுக் கள் கொண்ட பல்லுறுப்புக் கோவை. ஏதேனும் ஒரு எண் பகா எண் P க்கு, P என்பது an ஐத் தவிர்த்து மற்ற அனைத்துக் கெழுக்களையும் மீதமின்றி வகுக்கக் கூடியதாகவும் P' என்பது 8, ஐ மீதமின்றி வகுக்காததாகவும் இருப்பின் f(x) ஐ விகிதமுறு எண்களத்தின்மீது காரணிப்படுத்த முடியாது. எடுத்துக்காட்டு. f(x) = x' - 2 என்னும் பல் - 2 லுறுப்புக்கோவை முழுஎண் கெழுக்கள் கொண்டது. f(x) = 2 + 0 x + 1. x* P = 2 ஒரு பகா எண், P என்பது 1 ஐத் தவிர்த்து மற்ற அனைத்துக் கெழுக்களையும் மீதமின்றி வகுக் கிறது. P என்பது மாறிலி உறுப்பு-2 ஐ வகுக்காது. எனவே ஐன்ஸ்டன் கோட்பாட்டின் நிபந்தனைகள் உண்மையாவதால், f(x) ஐ விகிதமுறு எண் களத் தின்மீது காரணிப்படுத்த முடியாது என அறியலாம். அ. ரகீம் பாட்சா காரணியப்பெருக்கம் மிகை முழு எண்கள் மீது வரையறுக்கப்பட்ட சார்பு களுள் காரணியப் பெருக்கம் (factorial) என்பதும் ஒன்றாகும்.n ஒரு மிகை முழு எண் ஆயின் அதன் காரணியப் பெருக்கம் பின்வருமாறு வரையறுக்கப் படும். n = nXín {}X{T−2}X ... X 3X2X1 அதாவது 1இலிருந்து தொடங்கி முடிய உள்ள அனைத்து இயல் எண்களின் தொடர் பெருக்கற் பலனாகும். 01 = 1 எனக் கொள்ளப்படும். ஆய் லரின் சார்பான (Euler's function), காமாச் சார்பு ( -function), (n+1) = n-x X e dx என வரை S 0 யறுக்கப்படும். இதன் மதிப்பு n/ ஆகும். எனவே, காமாச்சார்பைக் காரணியப் பெருக்கத்தின் பொது து வுரையாகக் கருதுவதும் உண்டு. சில சமயங்களில் காமரச் சார்பு காரணியச் சார்பு என்றும் குறிப் பிடப்படும். வாலியின் வாழ்யாடு. tn என்பது ஒரு மிகை முழு எண் எனில். 立 (n! ) (x -x) dx = (2n +1)! ஆகும். வாலியின் வாய்பாடு காரணியப் பெருக்கத்தின் மூலம் தரப்பட்டுள்ளமையைக் காணலாம். இன் பின்ன மதிப்புகளுக்கும் வாலியின் வாய்பாடு உண்மை எனக் கொண்டால், எனில் 4 0 /x - x' dx (74)° ஆகும். ச்சமன்பாட்டில் உள்ள தொகை y = Nx-x' அல்லது x' + y* x = 0 என்னும் சமன்பாடு குறிக் கும் அரைவட்டத்தின் பரப்பு ஆகும். இவ்வட்டத் தின் ஆரம் } அலகு ஆதலால்,
- ()
2 ஆய்லரின் மற்றொரு சார்பான பீட்டாச்சார்பு பின் வருமாறு வரையறுக்கப்படும். Ø (m,n) m-1 n1 X (1-x) dx
