காஸ், கார்ல் ஃபிரெடிரிக் 617
[z< 1 ஆகவோ. 1 = 1, மெய்ப்பகுதி R. (c-a-b) 1 ஆகவோ இருப்பின் I இல் உள்ள தொடர் ஒரு சீராக ஒருங்கும். மேலும் இது z (1-z)y' + fc-(a+b+1) zJ y' - aby = o என்னும் சமன்பாட்டின் தீர்வு ஆகும். (I) a = 1; b = c எனில் தொடர் 1+Z+Z+Z+ என்னும் வடிவத் (பெருக்கு) தொடர் ஆகிறது. ஆதலால் (I)ஐ அதி வடிவத்தொடர் (hyper geometric series) என்பது பொருந்தும். மேலும் (1) ஐத் தொகையீட்டுவடிவில் பின்வருமாறு எழுதலாம். Y(c) -a b-1 I = Y(b)(c-b) (1-zt) t 0 இதில் z = 1 எனில் F(a,b;c;1) = Y(c) Y(c-a-b) c-1 (1-t) dt(II) Y(c-a} Y(c-b) என்னும் காஸின் அதிவடிவச் சமன்பாட்டுத் தேற்றம் கிடைக்கும். மேலும் F (j, 3; z*) Z = sin = -2 z F(2.1:-z) Z = tan-1 z என்பவை குறிப்பிடத்தகுந்தவை. t = 1 s என (II) இல் பிரதியிட Z F (a, b; c;z) = (1−z)-a, F (a, c-b; c; 1) = (1-z)e-a-b. F(c-a, c-b; c;z) எனப் பெறலாம். இறுதியாக.(1)ஐப் பொதுவாக AV (31). ZH 1+ 2 ni (b ) T i=1 = 1+ 41.ap Z + b, b...ba 1 ! a, (a+1) (a,+1) குர் (ap+1) b, b,... ba (b,+1) (b,+1) ..- (bq+1) 27 என எழுதலாம். இக்குறிப்பைக் கணிதமேதை இராமாநுஜத்தின் தேற்றத்துடன் ஒப்பிடலாம். காஸ், கார்ல் ஃபிரெடிரிக் 617 F (a b; x). F (a; b; - x) = F (a, b-a; b, b, b+13 2 காஸ், கார்ல் ஃபிரெடிரிக் ஜே.டி. சாமுவேல் இவர் இளமையிலேயே 18 ஆம் நூற்றர்ண்டின் கணிதக் கொள்கைகளையும், முறைகளையும் புரட்சிகரமாக மாற்றினார்; இவரின் புரட்சிகரமான எண் கொள்கையின் (number theory) மூலம், 19 ஆம் நூற்றாண்டின் மத்தியில் பகுப்பாய்வைச் (analysis) செம்மையாக்க வழிகோலினார். தனி கணிதத்திற்கு (pure mathematics) மிகச் சிறந்த முறையில் இவர் பணி ஆற்றியதோடு, 20 ஆம் நூற்றாண்டின் வானியல் (astronomy), புவி இயல் (geodesy), மின்காந்தவியல் ஆகியவற்றிற்குச் செயல்முறைப் பயன்பாட்டை புகுத்தினார். உருவ கணிதம், அறிவியலின் அரசி என்பதே இவருடைய மேலான கருத்தாகும். மேற்கு ஜொமனியில் உள்ள புரூன்ஸ்விக்கு என்னும் ஊரில் 1777 ஆம் ஆண்டு கார்ல் ஃபிரெடிரிக் காஸ் (Carl Freidrich Gauss) பிறந்தார். கணிதத்திலும் மொழிகளிலும் இவருக்கு இருந்த திறமையை உணர்ந்த ஆசிரியர்கள், இவரிடத்தில் ஈடுபாடு காட்டினர். வருடைய அன்னை பிரன்ஸ்விக் கோமகனிடம் வேண்டியதால், காஸ் உயர்நிலைப் பள்ளியில் கல்வி பயிலவும். 1795 1798 வரை காட்டிங்கன் பல்கலைக்கழகத்தில் கணிதம் கற்கவும் அக்கோமகன் நிதி உதவி செய்தார். 1799 இல் ஹெல்ம்ஸ்டெட் பல்கலைக்கழகத்தில் மு முனைவர் பட்டம் பெற்றார். ஆய்வுக்கு இவர் எடுத்துக் கொண்ட பொருள் "கலப்பு (அ) சிக்கல் எண்களைக் (complex numbers) கெழுக்களாகக் (coefficients) கொண்ட இயற்கணிதச் சமன்பாடு (algebraic equations) ஒவ்வொன்றிற்கும் கலப்பு தீர்வுகள் (solutions) உண்டு என்னும் இயற்கணிதத்தின் அடிப்படைத் தேற்றத்தை fundamental theorem of algebra) நிறுவுவது ஆகும்; இவருக்கு முன்பு இத்தேற்றத்திற்கு எவரும் முழுமையான நிரூபணம் கொடுக்கவில்லை: ஆனால் கலப்பு எண்களைப் பயன்படுத்தாமலே திறமையான முறையில் காஸ் இதை நிறுவினார். எண் .. காஸ் தம் 24 ஆம் வயதில், கணித வரலாற்றில் உள்ள மிகச் சிறந்த சாதனைகளில் ஒன்றான Disqu- istiones Arithmeticae" என்னும் நூலை வெளியிட்டார். அதில் பரந்த அளவில் மாறுதல் விளைவிக்கக்கூடிய
