காஸ், கார்ல் ஃபிரெடிரிக் 619
உருவ இயலில் இவர் முழுக் கவனம் செலுத்தினார். இதற்காகக் கொள்கை வழி ஆய்வுகளிலும் களப் பணியிலும் மிகுதியான நேரத்தைச் செலவிட்டார். அளவு எடுத்தலின் துல்லியத்தை அதிகரிக்க ஹீலி யோட்ரோப் என்னும் கருவியைப் புதிதாகக் கண்டு பிடித்தார். இக்கருவியால் மேலும் துல்லியமான அளவுகளைப் பெறச் சூரிய ஒளியைப் பயன்படுத்த முடியும்.காஸின் பிழை வளைவரை (Gaussian error curve) எனத் தற்காலத்தில் குறிக்கப்படும் வளை வரையை அறிமுகம் செய்து, நிகழ்தகவை (probablity) இயல்நிலை வளைவரையால் குறிக்க முடியும் எனவும் காட்டினார். இந்த வளைவரை புள்ளியியலில் மிசு முக்கியமானது ஆகும். புவியின் உண்மையான குறுக்கடி அளவுகளின் ( geodesic measurements) மூலம் அதன் வடிவத்தைத் தீர்மானிப்பதில் மிகுந்த அக்கறை காட்டினார். மேற் சொன்ன அளவுகளின் புள்ளிவிவரங்களைப் பயன்படுத்தி, வளைபரப்புகள் (curved surfaces) பற்றிய கொள்கை ஒன்றை இவர் உருவாக்கினார்; இதன் மூலம், ஒரு மேற்பரப்பின் மீதுள்ள வளைவரை களின் நீளங்களை மட்டும் அளந்து அதன் சிறப்பியல்பு களைக் காண முடியும். காஸின் இந்த உள்ளார்ந்த மேற்பரப்புக் கொள்கை (intrinsic surface theory) மூன்று அல்லது மூன்றுக்கு மேற்பட்ட பரிமாணங்கள் (dimensions) QL வெளிகள் (spaces ) பற்றிய பொதுவான உள்ளார்ந்த வடிவக் கணிதம் ஒன்றை உருவாக்கக் காஸின் மாணவரில் ஒருவரான ரீமானைத் தூண்டியது. 1854 இல் காட்டிங்கனில் ரீமான் நிகழ்த்திய தொடக்க உரையின் பொருளாக இக்கொள்கை இடம் பெற்றது; இவ்வுரை காஸைக் கிளர்ச்சியுறச் செய்தது என்று சொல்லப்பட்டது. ரீமானின் கருத்துகள், ஏறத்தாழ 60 ஆண்டுகளுக்குப் பின் ஐன்ஸ்டீனின் பொதுச் சார்புக் கொள்கைக்குக் கணித அடிப்படையாக அமைந்தன என்பது குறிப் பிடத்தக்கது. யூகிலிட்டின் வடிவக் கணிதம் இயற்கையிலும் எண்ண அளவிலும் இயல்பாக அமைந்துள்ளது என்னும் கருத்தை ஏற்றுக் கொள்வதில் முதன் முதலில் ஐயம் கொண்டவர்களில் காஸும் ஒருவர். முறையான வடிவக் கணிதத்தை முதன் முதலில் அமைத்தவர் யூகிலிட் ஆவார். இவருடைய அமைப்பில் உள்ள சில அடிப்படைக் கருத்துகள் அடிக்கோள்கள் (axioms) எனப்படுகின்றன. இவற்றிலிருந்து தூய அளவை இயல் முறையில் இவருடைய வடிவக் கணிதம் முழுதும் உருவாக்கப்பட்டது. இவற்றில் இணை அடிக்கோள் தொடக்க காலத்தில் இவற்றில் இருந்து ஒரு முக்கியமான இடத்தைப் பெற்றது. இந்த அடிக் கோளின் மூலம், கொடுக்கப்பட்டுள்ள ஒரு கோட்டிற்கு இணையாக அக்கோட்டின் மீது இல்லாத ஒரு புள்ளி வழியாக ஒரே ஒரு கோடுதான் வரைய முடியும். ணை அடிக்கோளைப் புற அடிக்கோள்களில் காஸ், கார்ல் ஃபிரெடிரிக் 619 விளக்க இருந்து அளவை இயல் முறையில் பெற முடியும் என்னும் ஊகம் விரைவில் தோன்றியது. எனவே அடிக்கோள்களின் தொகுதியில் இருந்து இணை அடிக் கோளை நீக்கிவிட முடியும் என நம்பப்பட்டது. ஆனால் அவ்வூகம் உண்மையானது என எழுதப்பட்ட அனைத்து நிறுவல்களிலும் பிழைகள் இருந்தன. இணை அடிக்கோளைப் பயன்படுத்தாத ஒரு வடிவக் கணிதத்தை அமைக்க முடியும் என உணர்ந்தவர்களில் காஸும் ஒருவர். உள்ளிசைவு உடைய முரண்பாடுகளற்ற (internally consinstent) அத்தகைய வடிவக் கணிதம் ஒன்று உண்மையிலேயே உள்ளது என்னும் புரட்சிகரமான முடிவிற்குக் காஸ் படிப்படியாக வந்தார். இம்முடிவு இவர் கால எண்ணங்களுக்கு நேர் மாறாக இருந்த காரணத்தால் தை வெளியிடக் காஸ் அஞ்சினார். ஈர்ப்பு, காந்தவியல் ஆகியவற்றில் இவருக்கிருந்த ஆர்வத்துடன் மெய்ப் பகுப்பாய்வு (real analysis) பற்றிய கட்டுரை ஒன்றையும் 1840 இல் காஸ் வெளி யிட்டார். புதுமை மின் அழுத்தக் கொள்கைக்கு (modern theory of potential) இக்கட்டுரை தொடக் கமாக அமைந்தது. எந்தச் சூழ்நிலைகளில் ஒரு நீர்மப்பொருள் ஓய்வு நிலையில் உள்ளது. போன்ற இயற்பியல் வினாக் களுக்கு விடைகள் காண இவர் செய்த கணித ஆய்வுகளில், 1839ஐ ஒட்டி மீச்சிறு மற்றும் மீப்பெரு அளவுகள் பற்றிய கோட்பாடுகள் பெருமளவில் இடம்பெறத் தொடங்கின. நுண் துளைச் செயல் capillary action) பற்றிய இவர் கட்டுரையில், ஒரு நீர்மப்பொருள் அமைப்பில் உள்ள அனைத்துத் துகள் களும் ஒன்றோடொன்று நிகழ்த்தும் செயல்கள், ஈர்ப்பு விசை, அதனுடைய பாய்துகள்கள். அது தொட்டுக் கொண்டிருக்கும் திண்மப் பொருள் அல்லது நீர்மப் பொருளின் துகள்கள் ஆகியவற்றின் இடைச்செயல் (interaction) முதலியவற்றைக் கருத்தில் கொண்டு, காஸ் கணித முறையில் மிகத் தெளிவாகவும் திட்ட வட்டமாகவும் எழுதியுள்ளார். ஆற்றல் அழிவின்மைக் கோட்பாட்டை உருவாக்க து உறுதுணையாக இருந்தது. 1830இல் இருந்து காஸும் இயற்பியல் அறிஞர் வில்ஹெல்ம் வெபர் என்பாரும் இணைந்து ஆய்வு செய்தனர். புவிக் காந்தவியலில் (terrestrial magnetism) இருவருக்கும் இருந்த மிகு ஆர்வத்தின் விளைவாக, முறைப்படி உற்றுநோக்கல்கள் (systematic observations) நடத்த உலகம் முழுதும் நிலையங்கள் அமைத்தனர். பிற வல்லுநர்கள் மின்னியல் தந்தி முறையை உருவாக் கியது, மின்காந்தவியலில் இவ்விருவரும் ஆற்றிய பணி யின் மிகச் சிறந்த செயல்முறை விளைவாகும். குறைந்த நிதி நிலை காரணமாக, இவர்களின் ஆய்வு சுருக்கமான அளவிலேயே நடத்தப்பட்டன. காஸ் ஆழ்ந்த சமயப் பற்றுடையவராகவும். நடை உடைத் தோற்றத்தில் உயர்குடி இயல்புடைய கள்
