4 குலக்கோட்பாடு
4 குலக்கோட்பாடு என்ற 4 வரிசை மாற்றங்களும் ஒரு குலமாகின்றன பெருக்கல் அட்டவணை தயாரித்துக் காணலாம். து ஒரு செயற்குலமாகும். என்பதைப் e a b C a b C а a e cb € e 23 bb C € 20 2 C b C a e சமச்சீரான குலம் (symmetric group). ஒரு கணத்தில் வெவ்வேறான '1 மூலப்பொருள்கள் இருந்தால் வற்றில் n! வரிசை மாற்றங்கள் இருக்கும். இந்த I! வரிசைமாற்றங்களும் ஒரு குலமாகும் என்பதை மேற்கூறிய முறையில் நிறுவ லாம். இக்குலம் I! வரிசை எண் உடைய சமச் சீரான குலம் Sn (symmetric group Sn on n symbols) எனப் பெயர் பெறும். ஒவ்வொரு பொருளுக்கும் அதே பொருள் எதிர்ப் பொருளாக உள்ளது. ஒரே இயல்பு நல்கும் சார்பும் (homomorphism), ஒரே அமைப்பு நல்கும் சார்பும் (isomorphism). முற்றிலும் மாறுபட்ட பொருள்களைக் கொண்ட G,G' என்ற இரண்டு குலங்களுக்கிடையே பின்வரும் தன்மைகொண்ட ஒரு சார்பு f ஆக இருக்குமானால் அச்சார்புக்கு ஒரே இயல்பு நல்கும் சார்பு எனப் பெயர். f (ab) = f (a) * f (b) அதாவது பெருக்கற்பலனில் எதிர்உரு, எதிர்உருவங் களின் பெருக்கற்பலன் ஆகும். மேலும் ஒரே இயல்பு நல்கும் இச்சார்பு f ஒன்றுக் கொன்று (one-to-one) தொடர்புகொண்டதாகவும், G இன்மேல் முற்றிலும் பரவுவதாகவும் (onto) இருந்தால் f ஒரே அமைப்பு நல்கும் சார்பு எனப் படும். G. G க்கு இடையே இவ்வித ஒரே அமைப்பு நல்கும் சார்பு ஒன்று இருந்தால் G.G' என்பவை ஒரே அமைப்புக் கொண்ட குலங்கள் (isomorphic groups) அதாவது G-G' எனப்படும். நான்கு பின்வரும் எ.கா: G {a,b,c} எனலாம் க்ளைன் 4. குலம் (Klein 4 - group), பொருள்களைக் கொண்ட சில குலங்கள் சிறப்புத் தன்மைகளைப் பெற்றுள்ளன. அவற்றிற்கு க்ளைன் 4 குலம் எனப்பெயர். 1. ஒவ்வொரு பொருளுக்கும் அதேபொருள் எதிர்ப்பொருளாக உள்ளது. 2. முற்றொருமைப் பொருளைத் தவிர ஏனைய மூன்று பொருள்களில் எந்த இரண்டின் பெருக்கல் பலனும் மூன்றாம் பொருளாக உள்ளது. 3. இக்குலம் இருக்கும். ஓர் எபெலியன் குலமாக எ.கா: மட்டு 8 இன் (modulo 8) 8 உடன் பொதுக்காரணி கொள்ளாத எச்சக்கணங்கள் (rest- dne classes) (1), (3), (5), (7) ஆகும். இவை மட்டு 8 பெருக்கலின் சார்பாக ஒரு குலமாகும் என்பதைப் பின்வரும் பெருக்கல் அட்டவணையில் காணலாம். S 8 (1) (3) (5) (7) (1) (1) (3) (5) (7)] (3) (3) (1) (7) (5) (5) (5) (7) (1) (3) 7) (7) (5) (3) (1) க்ளைன் 4- குலம். ஏனெனில், இதில் முற்றொருமைப் பொருள் (1). (3) X (3)= (1): (5) X (5) (1): (7) x (7) = (!) என்பதால் G' {a', b', '} எனலாம். f(a) a^; f(b) = b ; f{c} = c என இருக்கு மாறு, G, G ' களுக்கிடையே f என்ற ஒரு தொடர்பு இருக்கட்டும். மேலும்,G,G' இன் அட்டவணைகள் பின்வருமாறு இருந்தால் G.G ' ஒரே அமைப்புக் கொண்ட குலங்கள் அதாவது G=G' a b C a' b' c¹ bic a a b' c' b b € a b' b'c' a' C C a b C' c' a b' G G = b a*b* இதில், காட்டாக asb = b (aob) G,G' க்களின் அட்டவணைகள் ஒரே அமைப் புடையவையாம். கேலியின் தேற்றம் (Cayley's theorem). முடிவுள்ள எந்தக் குலமும் அதற்குத் தகுந்த ஒரு வரிசை மாற்றங்களின் குலத்துடன் ஒரே அமைப்புக் கொண்டதாக இருக்கும். G = {a1, ag, a3 2* ap} எனலாம்.
