256 கூட்டுத் தொடர்
256 கூட்டுத்தொடர் ஒருங்கமையாத தொடர்களுக்கு இத்தகைய வாய்பாடு பயன்படுவதில்லை. ஒவ்வொன்றாக எல்லா எண்களையும் கூட்டி, மொத்தக் கூட்டுத் தொகை யைக் கணக்கிட வேண்டும். 1,5,6,10,17 என்பது எந்த வாய்பாட்டிற்கும் ஒத்து வாராத தொடர் ஆகும். இதன் கூட்டுத் தொகையை 1+5+6+10+ 17-39 எனக் கூட்டல் விதியைக் கொண்டே காண வேண்டும். கூட்டுத் தொகையும் கூட்டல், கழித்தல் விதிகளைப் போன்று அறிவியல், கலைத் துறையின் அனைத்து இடங்களிலும் பெரும் பங்குபெறும். - மு. அரவாண்ட டி கூட்டுத்தொடர் . ஒரு தொடரில், அடுத்தடுத்த இரண்டு எண்களுக் குள்ள வேறுபாடு ஒரே மாதிரியாக இருந்தால், அது கூட்டுத் தொடர் (arithmetic series) ' எனப்படும். aa+da+2d, எனும் பொதுத் தொடரில், அடுத்தடுத்த எந்த இரண்டு எண்களையும் எடுத்தால், அவற்றின் வேறுபாடு d என்று கிடைக்கிறது. இதைப் பொது வேறுபாடு என்றும். தொடரிலுள்ள a ஐ முதல் எண் என்றும் குறிப்பிடலாம். முதல் எண்ணையும், பொது வேறுபாட்டையும் கொடுக்க, ஒரு கூட்டுத் தொடரை எழுத முடியும். முதல் எண் 5 எனவும், பொது வேறுபாடு 6 எனவும் இருந்தால் கூட்டுத் தொடர் 5, 5+6, 5+2,6, அதாவது, 5,11,17,23 5+3.6 - ஆகும்.a,a+d, a+2d, என எனும் தொடரின். i ஆம் உறுப்பை a + n - i d எனக் காணலாம். அவ்வாறே n. உறுப்புகளைக் கொண்ட ஒரு கூட்டுத் தொடரின் கூட்டுத் தொகையை Sn = n என்றும், +[2a+n-1d) என்றும் எழுதலாம். fa+1] 1 என்பது தொடரின் இறுதி எண்ணாகவும், 2 என்பது முதல் எண்ணாகவும், d என்பது பொது வேறுபாடாகவும், n என்பது தொடரிலுள்ள எண் களின் எண்ணிக்கையாகவும் அமைகின்றன. (1 + 3- 5+ . . + 2 n . 1) என்னும் தொடரின் +2n-1) தொகை n" என்றாவதைக் காண <=na எனக் கொடுக்கப்பட்டிருந்தால், S₁ = லாம். 11 Sn 1+2n-1 S,= 1*= 1 என்பது முதல் எண்ணாகிறது. S!=2*=4 என்பது முதல் ரண்டு எண்களின் கூட்டுத் தொகை யாவதால் இரண்டாம் எண் 4-1= 3 என்றும், $=3"=9 என்பது முதல் மூன்று எண்களின் கூட்டுத் தொகையாவதால், மூன்றாம் எண் 9-4-5 என்றும் பெறப்பட்டு, தொடர் 1,3,5... என்றாவதைக் காணலாம். மூன்று எண்கள், a, A, b எனக் கூட்டுத் தொடரி லிருந்தால், A க்கு a, b யின் சராசரி என்று பெயர். அதன் மதிப்பைக் காண d - b--A எனக் + b கொண்டு, A = 444414VER A-a a+ என்று அறியலாம். இரண்டு 2 கொடுக்கப்பட்ட a, b எனும் எண்களுக்கு இடையில் AA, Ap எனும் கூட்டுச் சராசரியைப் பொருத்த வேண்டுமாயின், a, Aj A, An, b என்பவை கூட்டுத் தொடரில் அமைவதைக் கொண்டு b=(n+2) ஆம் உறுப்பு அதாவது b = a + n + ld, b d = n + 1 b எனக் கணக்கிட்டு, = = a + b = 9,A, = a + 2d = a + Ax = a+ n + 1 n{b-a) 0+1 கின்றன. AuA, எளிதாக அறியலாம். A = a + d =a+d A₁ 2(b-a) n + 1 என்ற மதிப்புகளைப் பெறு Aது களின் மதிப்புகளை மு.அரவாண்டி கூட்டு நிறமும் நெசவு விளைவுகளும் காண்க: நெசவுத்தொழில் கூட்டுப் பதனிடுதல் பொதுவாக ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட பதனிடும் பொருள் களைப் பயன்படுத்தித் தோலைப் பதனிட்டால் அது கூட்டுப் பதனிடுதல் (combination tannage) எளப்படும். தோல் தொழிலியலில் ஒரே பதனிடும் பொருளைக் கொண்டு தோல் பதனிடும் முறையை மேற்கொள்வதில்லை. இக்காலத்தில் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட பதனிடும் பொருள்களைக் கொண்டு மிகச் சிறப்பான தோல் ஒப்பனை செய்யப்படு கிறது. தொடக்க காலத்தில் தாவரப் பதனிடு பொருள் களைக் கொண்டு தோல்களைப் பதனிட்டு வந்தார்கள். 19ஆம் நூற்றாண்டின் இறுதியில் குரோம் பதனிடும் முறை அறிமுகமாயிற்று. இது நிறமியப் பதனிடுதல் என்றும் கூறப்படுகிறது. இம் முறையைக் கொண்டு அழகும் வலிமையும் உடைய மெல்லிய அழகிய தோல்கள் தயாரிக்கப்பட்டன.
