272 கூம்பின் வெட்டுமுகம்
272 கூம்பின் வெட்டுமுகம் நீள்வட்டம். e< ஆக இருக்கும்போது சமன் பாடு (I) X a³ + = 1 மேலும் சமன்பாடாகும். என்ற நீள்வட்டத்தின் இச்சமன்பாட்டிலிருந்து நீள்வட்டம் x, y அச்சுகள் ஒவ்வொன்றைப் பொறுத்தும், ஆதியைப் பொறுத்தும் சமச்சீராக உள்ளதை அறியலாம். எனவே (- - ae, 0 ) என்ற புள்ளி நீள் வட்டத்தின் இன்னொரு குவிய மாகும். குவியங்களைக் கொண்டுள்ள நீள்வட்டத்தின் நாண் அதன் பேரச்சு அல்லது நெட்டச்சு ஆகும். இதன் நீளம் 2a, பேரச்சுக்குச் செங்குத்தாகக் குவியங்களின் மையப்புள்ளி வழியாகச் செல்லும் 2b நீளமுள்ள நீள்வட்டத்தின் நாண் சிற்றச்சு அல்லது குற்றச்சு ஆகும் (படம்-6). எனவே P என்பது நீள்வட்டத்தின் மேல் உள்ள ஏதேனும் 2 A. ஒரு புள்ளியானால், P S + PS' = PS + PS' =2A என்னும் நிபந்தனைக்குட்பட்டு இயங்கும் P என்னும் புள்ளியின் இயங்குவரை எனவும் நீள்வட்டம் வரையறுக்கப்படுகிறது. ab - ht > O என்றால், சமன்பாடு (1) நீள் வட்டத்தைக் குறிக் கிறது. இதன் அரைச்செவ்வகலம். க்குச் சமமாகும். b³ a அதிபரவளைவின் நியமமான சமன்பாடுகிடைக்கிறது. இங்கே அதிபரவளைவு இரண்டு அச்சுகளைப் சமச்சீராக பொறுத்தும் பொறுத்தும் ஆதியைப் உள்ளதையும், இரண்டு கிளைகளைக் கொண்டிருப் பதையும் அறியலாம் (படம் 71. மேலும் ab-h' > 0 ஆகும். இயங்குவரை W L' L இயங்குவரை A X' S' Z' C Z 5. P இயங்கு வரை இயங்கு வரை Y₁ M' B M Z A GA S S B₁ படம் 6. நீள்வட்டம் S, SL குவிமையங்கள் அதி பர வளைவு. e 1 ஆக இருக்கும்போது சமன்பாடு (1) இலிருந்து y2 Б I என்னும் (படம் 7.) S,S'- குவிமையங்கள் அதிபரவளை என்னும் அதிபர வளைவு வீச்சு வடிவக் கணித (projective geometry) வரை யறை. வீச்சு வடிவக் கணிதத்தில் இரண்டு ஒரே தளத் துள்ள வீச்சிடு நேர்கோட்டுக்கற்றைகளின் வெட்டுப் புள்ளிகளின் இயங்குவழி, ஒரு சிதைவிலாக்கூம்பு வளைவு எனக் காட்டப்படுகிறது. எல்லாச் சிதை விலாக் கூம்பு வளைவுகளும் வீச்சிடு தன்மையால் சமமானவையாம். இதன் பொருள் C,C, என்பவை எவையேனும் இரண்டு ஒரு தளச் சிதைவிலாக் கூம்பு வளைவுகளாயின், அவற்றின் தளத்தை உவையாகவே மாற்றியும் C ஐC, ஆக மாற்றியும் அமைக்கும். கூம்பு வளைவுகள் அவற்றின் தளத்தில் உள்ள கந்தழிநேர் கோட்டுடன் காண்டுள்ள நடந்துகொள் முறையை வைத்து வகைப்படுத்தப்படுகின்றன. கூம்பு வளைவிற்கும் கந்தழி நேர் கோட்டிற்கும் பொதுவான புள்ளிகள் 2, 1 அல்லது ஒன்றுமில்லை யெனில், கூம்பு வளைவு, முறையே அதிபர வளைவு, பரவளைவு அல்லது நீள் வட்டம் எனப்படுகிறது. மூன்று வகைக் கூம்பு வளைவுகளுக்கும் பொதுவான தன்மைகள் பலவும் ஒவ்வொன்றுக்கும் சிறப்புத்
