குவி-படிமலர்ச்சி 59
குவி-படிமலர்ச்சி 59 நிலைகளில் பயணம் செய்த உயரங்கள் பூஜ்யத் துக்குக் குவிகின்றன எனலாம். கணிதத்தின் அடிப்படையாக விளங்கும் எண்கள் ஒரு நியதிக்குட்பட்டு வரிசைப்படுத்தப்படும்போது எண்தொடர்முறை (sequence) கிடைக்கிறது. எடுத்துக் LLS 1, ½, 1/31/100......... ஓர் எண் தொடர் முறை ஆகும். இதன் உறுப்புகளின் மதிப்புக் குறைந்து கொண்டே வந்து பூஜ்யத்தை நெருங்கும் என்பது வெளிப்படை. கணித வாயிலாக மேற் சொன்ன இறங்கும் தொடர்முறைப் (decreasing sequ- encc) பூஜ்யமானது, 1, 1, 1/3, 1/100 என்ற தொடர் முறையின் எல்லையாகக் கருதப்படும். 1,2,3 என இதன் உறுப்புகளின் மதிப்பு வரம்பற்று அதி கரித்துக் கொண்டே செல்வதைக் காணலாம். எனவே இது ஒரு முடிவான மதிப்பிற்குக் குவிவது சாத்திய மில்லை என்பது தெளிவாகிறது. ய மேற்காணும் எடுத்துக்காட்டுகளில் முதல் தொடர் முறை குளியக்கூடிய இறங்கும் தொடர்முறையாக வும், இரண்டாம் தொடர்முறை குளியாத ஏறும் தொடர் முறையாகவும் (incrcasing sequence) இருக் கின்றன. இதனின்றும் இறங்கும் தொடர்முறை ஒவ்வொன்றும் குவியக் கூடியது என்றோ ஏறும் தொடர் ஒவ்வொன்றும் குலியாதது என்றோ முடிவு செய்துவிடமுடியாது. ஏனெனில் - 1,-2,-3, என்று இறங்கும் தொடர் முறையாயிருந்தபோதும் அது குவிவதில்லை என்பதையும் 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, என்று ஏறும் தொடர் முறைய யிருந்தபோதும் அது குவிகிறது என்பதையும் காணலாம். பொதுவாக ஏறும் அல்லது இறங்கும் தொடர்முறைகள் ஓரியல் பான தொடர்முறை (monotonic sequence) எனப் படும். மேற்காணும் கருத்துகளிலிருந்து ஓரியல்பான தொடர்முறை எப்போது குவியும் என்பதை, உறுப்பு களின் மதிப்பு ஒவ்வொன்றும் ஒரு குறிப்பிட்ட நிலை யான முடிவான மதிப்பை விடக் குறைவாகவோ சமமாகவோ கொண்டிருக்கும் ஓரியல்பான தொடர் முறை ஒவ்வொன்றுக்கும் நிச்சயம் குவியும் என்பதால் அறியலாம். குவிதலில், முற்றும் குவிதல் (absolute convergence), நிபந்தனைக்குப்பட்ட குவிதல் (conditional conver- gence), சீரான குவிதல் (uniform convergence) எனப் பலவகையுண்டு. இவை கணிதப்பகுப்பாய்வில் பல் வேறு பிரிவுகளிலும் பயன்படுகின்றன. ஒரு தொடர் முறையின் குளியும் தன்மையை வைத்து, அதன் எல் லை, உறுப்புகளின் சரியான பண்புகளைப்பெற்றிருக் குமா, இல்லையா என்பதைத் தீர்மானிக்க முடியும். கணிதத்தில் குவிதல் கொள்கையில் பயன்படுத்தப் படாத பிரிவே இல்லை எனலாம். எனவே கணிதப்பகுப்பாய்வின் கோட்பாடுகளைப் பற்றி நன்கு அறிந்து கொள்ளக் குவிதல் கொள்கையைப் பற்றித் தெரிந்து கொள்வது மிகவும் இன்றியமையாதது. அ. ரகீம்பாட்சா குவிதிறம் கந்தழியிலும் (o), xu (k = 1,2, ... ... n} என்னும் புள்ளியிலும் முறையான சிறப்புப்புள்ளிகளையுடைய (singular points) மற்ற எந்தத் தனித்தன்மையுமற்ற ஓர் இரு வரிசை நேரியல் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் (second order linear differential equation) Qurg அமைப்பு y" + Pn - 1 (x) y' F(X) + P2(n-1) {x) y F'(x) D.. 0 என்பது ஃப்யூச் தேற்றம் (Fuch theorem) எனப்படும். இங்கு F (X) {x-x1) (x-x;} (x - X); pi(x) என்பது 1 ஐ விடக் குறைவான படியைக் கொண்ட x இன் பல்லுறுப்பாகும். இவ்வகை நேரியல் வகைக் கெழுச் சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்டால், இவற்றி லுள்ள இரண்டு அல்லது இரண்டிற்கு மேற்பட்ட சிறப்புப்புள்ளிகளைச் சில கட்டுப்பாட்டுச் செயல் முறைகளால், சிக்கலான பண்புகளையுடைய ஒரு சிறப்புப் புள்ளியாக ஒன்றுமாறு செய்யலாம். இ செயல்பாடு, குவிதிறம் (con(luence) என்று கூறப் படும். இம்முறையால் ஐந்து, முறையான சிறப்புப் புள்ளிகளையுடைய ஒரு வகைக்கெழுச் சீமான் பாட்டிலிருந்து, கணித இயற்பியலில் ( mathematicdi physics) பல தேரியல் வகைக்கெழுச் சமன்பாடு களைப் பெறலாம் என்பது குவிதிறத்தின் முக்கிய பண்பாகும். குவி-படிமலர்ச்சி ஏற்படும் மாற்றமே பங்கஜம் கணேசன் தகவமைப்புகள் எதிர்கொண்டு உயிரினங்கள் அனைத்தும் ஒரே காலத்தில் தோன்றி யவை அல்ல. உயிரினங்கள் அவை வாழும் இயற்கைச் சூழ்நிலைக்கேற்ப, காலப்போக்கில் சிறுசிறு மாற்றங் களடைந்து முன்னைவிட மிகு பெற்றுச் சூழ்நிலைச் சிக்கல்களை நிலைத்து வாழ்கின்றன. இவ்வாறு ஏற்பட்ட சிறு மாறுபாடுகள் காரணமாக உயிரிகளின் உருவம், செயல் முறைகள்,நடத்தை, அவற்றின் முழு வாழ்க்கையில் படிமலர்ச்சி எனப்படு கிறது. படிமலர்ச்சி ஒரு மிகச்சிக்கலான நிகழ்ச்சி யாகும். மேலும், இது மிகமிக பெறும் ஒரு தொடர் நிகழ்ச்சியாகும். சூழ்நிலை என்பது படிமலர்ச்சி நிகழ்ச்சியில் பங்கேற்கும் ஓர் இயற்கை குறிப்பிட்ட சூழ்நிலையில் துலங்கல் எப்படி அமையும் என்பது அதனுடைய திடீர் மாற்றமுற்ற ஜீன்கள் (mutant genes) ஜீன் தொகுதி (gene pool) ஜீன் மறுசேர்க்கை (gcne recombination) ஆகியவற்றைப் மெதுவாக நடை நேரடியாகப் அமைப்பாகும். ஒரு
