11.
12.
13.
14.
Æs.
129
பண்பு 1 : எந்த ஒரு ஆழிகுலமும் ஓர் அபீலியன் குலமாகும். பண்பு 2 : ஒர் ஆழிகுலத்தின் ஒவ்வொரு உட்குலமும் ஆழிகுலமாகும்.
உட்குலம் என்றால் என்ன? ஒரு வெற்றற்ற உட்கணம் H ஆனது G இன் ஈரினைச் செயல் 9 ஐப் பொறுத்துக் குலமானால் (HO) ஐ (G, O) இன் உட்குலம் எனலாம். உட்குலத்தின் பண்புகள் யாவை? பண்பு 1: குலம் G இன் யாதேனுமோர் உட்குலம் H என்றால்
H இன் சமனி உறுப்பும் G இன் சமனி உறுப்பும் ஒன்றே. i) ஒவ்வொரு as Hஇல் a இன் நேர்மாறு உறுப்பும் G இல் a இன் நேர்மாறு உறுப்பும் ஒன்றே. பண்பு 2 : குலம் (G, O) இன் வெற்றற்ற ஓர் உட்கணம்
©Ꭲ☾Ꭲé%.
i) a, b, ε Η = aΟb ε Η i) a8 H= a 8 H ஆகிய இரண்டும் Gஇன் உட்குலமாக இருப்பதற்குத் தேவையானதும் போதுமானதுமான நிபந்தனைகள் ஆகும். பண்பு 3 : G என்னும் கணத்தில் H என்னும் உட்கணம் உட்குலமாவதற்கு தேவையானதும் போதுமானதுமான நிபந்தனை, a, b, 8 H= aOb 8 H என்பதாம். சமச்சீர் குலம் என்றால் என்ன? S என்பது வெற்றற்ற ஒரு கணம் என்க. Sலிருந்து Sக்கு வரையறுக்கப்பட்ட எந்த ஒன்றுக்கொன்று சார்பும் Sஇன் வரிசை மாற்றம் எனப்படும். தேற்றம் சார்பின் தொகுப்பு என்னும் செயலின் கீழ் S மீதமையும் எல்லா வரிசை மாற்றங்களின் கணம் G ஒரு குலத்தை உருவாக்கும். இக்குலம் Sஇன் சமச்சீர் குலம் எனப்படும். குலக் கொள்கையின் பயன்பாடுகள் யாவை?
S.
