இயற் கணிதம்
20
இயற் கணிதம்
Cஇல் R உட்கணம், Rஇல் I உட்கணம் என்று நாம் அறிவோம்.
3. (அ) நான்குவித எண்கணங்களிலும் = எனும் சமான உறவும், என்று குறிக்கப்படும் கூட்டல், பெருக்கல் ஆகிய இரு ஈருறுப்பிணைகளும் கீழ்க் கண்ட விதிகளுக்குட்பட்டு நிறுவ முடியும். (கீழே a. b... முதலியன Γ, C, R, I ஆகிய நான்கில் ஏதாவது ஓர் எண்கணத்திலிருந்து எடுக்கப்பட்ட ஏதாவது எண்களைக் குறிக்கும்).
I.a+b=b+a; (a+b)+c=a+(b+c);a.b= b.a; (a. b).c=a. {b.c); a(b+c)=a. b+a.c.
II. a=a; a=b ஆயின் b=a; a=b உம்b=c உம் ஆயின் a=c
a= ஆயின் a+c=b+c; a. c=b.c ஆகும்.
III. கன்னம் (இதற்குக் குறி 0)என்ற ஓர் எண் உண்டு. மேலும் a + o = a,a இன் எந்த மதிப்பிற்கும் பொருந்தும். a எனும் எந்த எண்ணிற்கும் (-a) என்று ஓர் எதிர் எண் a+(-a) =o எனும் சமன்பாட்டிற்குட்பட்டு இருக்கிறது.
IV. ஒன்று (குறி 1) ஓர் எண். a. 1= ஈa என்ற சமன்பாடு aஇன் ஒவ்வொரு மதிப்பிற்கும் பொருந்தும்.
V. a.b=o என்பது உண்மையாயின் a=0 அல் வது b = 0 என்பது உண்மை.
2. (ஆ) 1 எனும் முழு எண்களாலான எண்கணத் தத்தவிர்த்த (Γ, C R) எனும் எண்கணங்களிடைக் கீழ்க்கண்ட விதியும் உண்மையெனக் காணலாம்.
VI. a என்பது சுன்னமில்லாத ஓர் எண் ஆயின் a . a1=1 என்ற சமன்பாட்டிற்குட்பட்ட a1 எனும் ஓர் மாற்று எண்ணும் இருக்கிறது.
2. (இ) C எனும் கலப்பெண்களின் கணம் தவிர்த்து, மற்ற மூன்று எண்கணங்களிலும் a<b எனும் உறவு (a ஆனது b-ஐ விடக் குறைந்த எண் என்று பொருள்பட) உள்ளது. இவ்வுறவைப் பொறுத்து இம் மூன்று எண்கணங்களில் கீழ்க்கண்ட விதிகளைக் காணலாம்.
VII. a<b, b<c என்பவை உண்மையாயின் a<c என்பது உண்மை. a, b எந்த இரு எண்களாயினும் a>b,a=b, b> a ஆகிய மூன்று உறவுகளில் ஒன்றே ஒன்று மாத்திரம் உண்மையாகும்.
VIII a. b(≠0) எந்த இரு எண்களாயினும் a<Nb என்ற உறவிற்குட்பட்ட N எனும் ஒரு முழு எண் இருக்கிறது.
இப்படி நால்வகை எண்கணங்களில் +, . , =, < எனும் பிணைகள், உறவுகள் பொருத்த விசேடங்களை வழிகாட்டியாகக் கொண்டு சில அமைப்புக்களை நிறுவி, அவற்றின் தனி இயல்புகளைப் பற்றிக் கீழே காண்போம்.
3. குலம், வலயம், நியம வலயம், களம் இவற்றை வரையறுத்தல்: பல தனிமங்களால் ஆகிய s எனும் ஒரு கணத்தில் = எனும் ஓர் ஈருறுப்பு உறவும், +, . என்று இரு ஈருறுப்புப் பிணைகளும். மேலே 2ஆம் அங்கத்தில் குறிப்பிட்ட I முதல் VI வரையிலுள்ள விதிகளில் 'எண்' என்னும் பதத்திற்கு 'Sஇன் தனிமம்' என்று எழுத வரும் விதிகளுக்குட்பட்டு இருக்குமாயின், இக்கணம் (=, +, . ) ஐப் பொறுத்து ஒரு 'பரிவர்த்தன கணம்' (Commutative Field) எனப்படும். (I முதல் III வரையுள்ள விதிகள் மாத்திரம் (மேலே சொன்னபடி 'எண்' என்பதைத் 'தனிமம்' என்று மாற்றிய பிறகு) கொடுக்கப்படின் S ஆனது (=, +, .) ஐப் பொறுத்த ஒரு பரிவர்த்தன வலயம் (Commutative Ring) எனப்படும். a. b.=b. a என்ற I-ல் உள்ள விதி a, b என்ற ஒவ்வொரு ஈருறுப்புக்களுக்கும் உண்மையில்லாவிடினும் களம், வலயம் என்ற பெயர்கள் 'பரிவர்த்தன' எனும் அடைமொழியின்றிப் பொருந்தும். வலயம் IV-ம் விதிக்குட்பட்டால் ஒற்றையுடைய வலயம் (Ring with unit) என்றும், V-ம் விதிக்குட்பட்டால் நியம வலயம் (Integrity Domain) என்றும் பெயர் கொள்ளும்.
பல தனிமங்களாலாய S எனும் கணத்தில் = எனும் உறவும், + எனும் ஓர் ஈருறுப்பிணையும் I, II எனும் விதிகளில் இவ்விரு குறிகளைக் குறித்த சமன்பாடுகளுக்குட்பட்டுக் கொடுக்கப்படின் S ஐ (=, +ஐப் பொறுத்து) ஒரு 'பரிவர்த்தன குலம்' (Commutative Group) என்போம். இவ்விதிகளுள் a+b=b+a என்பது தரப்படாவிடின் 'பரிவர்த்தன' என்ற அடைமொழியை விடுத்துக் 'குலம்' என்போம். குலம் ஒன்றில் a எனும் தனிமத்திற்கு எதிர்த் தனிமம் -a ஒன்றே உண்டு; -a இன் எதிர் a ஆகும். களத்தில் a இன் மாற்று a1 ஒன்றுதான் உண்டு ; a 1 இன் மாற்று a ஆகும்; இவற்றை எளிதில் நிரூபித்தல் கூடும்.
களம் ஒன்றில் < எனும் ஓர் உறவு III-ம் விதிக்கும் உட்பட்டிருந்தால் அதனைக் 'கிரமக் களம்' (Ordered field) என்றும், VIII-ம் விதியும் உண்மையாயின், 'ஆர்க்கிமீடிய கிரமக் களம்' என்றும் கூறுவோம். மேலே கூறிய எண்வகைகளாலான உதாரணங்களைத் தவிர வேறு சிலவற்றையும் அடுத்துவரும் அங்கங்களில் காண்போம். இனி இவ்வாறு வரையறுக்கப்பட்ட அமைப்புக்களின் சிறப்பியல்புகள் சிலவற்றைத் தனித் தனி ஆராய்வோம்.
4. குலத்தின் இயல்பு : S எனும் கணம் (=, +) என்பனவற்றைப் பொறுத்துக் குலம் ஆவது போல் (=, . ) என்று வேறு குறியால் குறிக்கப்பட்ட ஈருறுப்பினையைப் பொருத்தும் குலமாக இருக்கலாம். அவ்வாறாயின் 0 எனும் தனிமத்திற்குப் பதில் I என்ற தனிமத்தையும் -a எனும் தனிமத்திற்குப் பதில் a-1 என்ற தனிமத்தையும் குறித்தல் மரபு. உதாரணமாக ஒரு களத்தில் சுன்னத்தைத் தவீர்த்த தனிமங்கள் = ஐப் பொறுத்த ஒரு குலம் ஆகும். + என்பது குலத்தின் பிணையைக் குறிக்குமாயின் அக்குலம் பரிவர்த்தன குலம் என்றே கொள்வது வழக்கம்.
குலத்திலுள்ள தனிமங்களின் எண்ணிக்கை அபர எண்ணாக (Finite number) இருந்தால் அக்குலத்தை அபர குலம் என்றும், தனிமங்களின் எண்ணிக்கையைக் குலத்தின் நிரை (Order) என்றும் கூறுவோம். தனிமங்கள் அபர எண்ணிக்கையுடையன அல்லவாயின் குலத்தைப் பரநிரைக் குலம் எனலாம்.
அபர குலத்தின் குலப்பிணையை என்று கொண்டால் அக்குலத்தின் கட்டமைப்பைத் தனிமங்களின் பெருக்கல் வாய்பாட்டை எழுதி நிலைநிறுத்தலாம். உதாரணமாக 1,a,b,c என்று நான்கு தனிமங்களாலான ஒரு குலம் அடுத்த பக்கத்திலுள்ள பெருக்கல் வாய்பாட்டுடன் இருக்கிறது.
அடுத்த பக்கத்தில் உள்ள வாய்பாட்டில் இடப்பக்கத்தில் a எனும் தனிமம் உள்ள வரியிலும் மேல்வரியில் b எனும் தனிமம் உள்ள பத்தியிலும் காணப்படும் தனிமம் (அதாவது c) a. bக்குச் சமமாகும். இப்படியே மற்ற ஈருருக்களின் பெருக்கல் தொகையைக் காணலாம்.
