பக்கம்:கலைக்களஞ்சியம் 2.pdf/39

இயற் கணிதம்

21

இயற் கணிதம்

1, 2.....n என்று குறிக்கப்பட்ட n இடங்களும், 1, 2.....n என்று குறிக்கப்பட்ட n பொருள்களும் கொடுத்து இப்பொருள்களை ஒவ்வொன்றை ஒவ்வொரு இடத்தில் பொருத்த வைப்பதென்றால் இது 6 I=6.5. 4. 3. 2. 1 விதங்களில் முடியும் என்று நாம் அறிவோம்.

⁠

1 a b c

---

1	⁠	1 a b c
a	⁠	a 1 c b
b	⁠	b c 1 a
c	⁠	c b a 1

இப்படிப் பொருத்தும் ஒவ்வொரு வகையையும் கீழ்க்கண்ட முறையில் குறிக்கலாம்:

$\scriptstyle {\left\{{\begin{matrix}\ \\\\\ \ \end{matrix}}\right.}$

I2.....n m1m2....mn ... ... ... ... ... ...

$\scriptstyle {\left.{\begin{matrix}\ \\\\\ \ \end{matrix}}\right\}\,}$

என்ற குறியில் m₁.....m_n என்பன 1, 2.....n எனும் எண்களாலான கணத்தை ஏதாவது ஒரு முறையில் வரிசைப்படுத்த உண்டாவது. இக்குறி 1 எனும் இடத்தில் m. எனும் எண்ணுள்ள பொருளும், 2 எனும் இடத்தில் m₂ எனும் எண்ணுள்ள பொருளும், மற்ற எண்களும் இப்படியே முறையாகப் பொருத்தப்படும் வகையைக் குறிக்கின்றது. இப்படிப் பொருத்தும் வகை ஒவ்வொன்றையும் ஒரு தனிமமாகக் கொண்டு, இத்தனிமங்களாலாய கணத்தில் ஓர் ஈருறுப்பிணையை நிறுவிச் சமத்துவத்தையும் வரையறுத்து ஓர் அபரகுலத்தை நிறுவலாம்.

S,T என்பன $\scriptstyle {\left\{{\begin{matrix}\ \\\\\ \ \end{matrix}}\right.}$

1 2......n s1 s2......sn

$\scriptstyle {\left.{\begin{matrix}\ \\\\\ \ \end{matrix}}\right\}\,}$

, $\scriptstyle {\left\{{\begin{matrix}\ \\\\\ \ \end{matrix}}\right.}$

1 2......n t1 t1......tn

$\scriptstyle {\left.{\begin{matrix}\ \\\\\ \ \end{matrix}}\right\}\,}$

எனும் பொருத்தல் வகைகளைக் குறிக்கட்டும்.

S=T என்பதற்கு s₁=t^1', s₂=t₂.....S_n=t_n என்று பொருள் கொள்ளவேண்டும். S. T=V=

$\scriptstyle {\left\{{\begin{matrix}\ \\\\\ \ \end{matrix}}\right.}$

I 2.....n v1v2vn

$\scriptstyle {\left.{\begin{matrix}\ \\\\\ \ \end{matrix}}\right\}\,}$

என்பதை வரையறுக்க

$\scriptstyle {\left\{{\begin{matrix}\ \\\\\ \ \end{matrix}}\right.}$

I.......n s1......sn

$\scriptstyle {\left.{\begin{matrix}\ \\\\\ \ \end{matrix}}\right\}\,}$

எனும் எண் சாரத்தில் (Matrix)

t₁, t₂.....t_n எனும் எண்களை மேல் வரியிற் கண்டு, அவற்றின் கீழே உள்ள எண்களை முறையே v₁, v₂.....v_n எனக் கொள்ளவேண்டும். இப்படி =, . இவற்றைக் கொண்டால் பொருத்தல் வகைகளாலான கணம் ஒரு குலம் ஆகும். இக்குலத்தை (1, 2......n) எனும் குறிகளாலான அபர கணத்தின் 1 -1 அகப்பொருத்தங்களாலானது (1 -1 Correspondences) என்று கருதலாம். S. T இத்தகைய பொருத்தங்களாயின், S. T என்பது Tஇன் பிறகு S செயற்பட்டால் உண்டாகும் அகப்பொருத்தம் என்று பொருள் கொள்ளலாம். n என்பது இரண்டைவிட அதிகமாயின் இத்தகைய குலம் பரிவர்த்தன குலமாக இராது.

பொதுவாக அபர அல்லது பரகணத்தின் 1 - 1 அகப்பொருத்தங்களை இதே முறையில் ஒரு குலம் என்று கருதல் இயலும். இதற்கு மறுதலையாக G எனும் ஒரு குலத்தை Gஇன் தனிமங்களாலான கணத்தின் அகப்பொருத்தங்கள் சிலவற்றாலான குலத்துடன் சம நிதானமுடைய குலம் என்று காண்பது எளிது. (Gஇல் உள்ள a எனும் உறுப்பிற்குப் பதில் Gஇன் உறுப்பு x-ஐ axஇல் பொருத்தும் அகப்பொருத்தமாக கருதினால் இத்தகைய 1 - 1 பொருத்தம் (One-one correspondence) G-ஐ Gஇன் அகப்பொருத்தங்கள் சிலவற்றாலான குலத்திற்குச் சமநிதானமாக்கும்.

5. சமநிதானம், சம்வேசனம், உட்குலம், பகுகுலம் : G. G' எனும் இரு குலங்களிடை Gஇன் தனிமம் a ஒவ்வொன்றிற்கும் பிம்பமாக a' எனும் G' இன் தனிமம் ஒன்றை நிருணயிக்கும் G-ஐ G' இடம் பொருத்தும் முறை f ஒன்றைக் கருதுவோம். f.(a.b)= f(a) . f (b) எனும் விதி a, b என்ற Gஇன் தனிமங்கள் யாவைக்கும் உண்மையாயின் f ஆனது G-ஐ G' இடம் பொருத்தும் ஒரு குல சம்வேசனம் (Homomorphism) எனப்படும். மேலும் G'இன் ஒவ்வொரு தனிமமும் Gஇன் ஒரே ஒரு தனிமத்தின் (fசார்ந்த) பிம்பமாக இருக்குமாயின் f ஒரு குல சமநிதானம் (Isomorphism) எனப்படும். அப்படி இருந்தால் a' எனும் பிம்பத்தை a எனும் Gஇலுள்ள அதன் மூலத் தனிமத்திற் பொருத்தும் f¹ எனும் பொருத்தல் முறையும், G'-ஐ Gஇல் பொருத்தும் சம்வேசனம் ஆகும். f என்பது G-ஐ G' இலும் g என்பது G'-ஐ G"இலும் பொருத்தும் சம்வேசனங்கள் அல்லது சமநிதானங்கள் ஆயின் gf எனும் பொருத்தல் முறை (g f (a) =g [f (a)] என்று கொள்வது மரபு ) G-ஐ G"இல் பொருத்தும் சம்வேசனம் (சமநிதானம்) என்பது தெரிகிறது.

குலத்தின் அமைப்பைப் பொறுத்தவரை G, G¹ எனும் சமநிதானக் குலங்கள் சற்றும் வேறுபாடு இல்லாததால் இத்தகைய குலங்களை வெவ்வேறு குலங்கள் என்று கருதவும் வேண்டுவதில்லை. ஒன்றினின்று மற்றது தனிமங்களின் குறிகளை அல்லது பெயர்களை மாற்றினதால் வந்தது என்று கொள்ளலாம். மேலே சொன்ன உதாரணத்தில் எனும் குலமும், Gஇன் தனிமங்களினாலான கணத்தின் 1 - 1 அகப்பொருத்தங்களில் சிலவற்றால் ஆன குலம் G'உம் சமநிதானமுடையன ஆகையால், எக்குலத்தையும் ஒரு கணத்தின் அகப்பொருத்தங்களாலான குலமாகக் (கட்டமைப்புப் பொறுத்தவரையில்) கருதலாம் என்று தெரிகிறது.

G எனும் கணம் (=, . ) என்பன பொறுத்து ஒரு குலம் ஆயின், Gஇன் உட்கணமான g என்பதின் தனிமங்களிடை =, . என்பன நிறுவப்படும். a, b என்பன gஇன் தனிமங்களாயின் a . b என்பதும், 1 எனும் தனிமமும், ā¹ எனும் தனிமமும் gஇலேயே இருக்குமாயின் gஉம் (=, .) என்பனவற்றைப் பொறுத்து ஒரு குலமாகும். இத்தகைய உட்கணத்தாலான குலத்தை Gஇன் உட்குலம் என்போம்.

g, h என்பன Gஇன் உட்கணங்களாயின் g. h என்பது இன்று ஏதாவது தனிமம் aஐயும் hஇலிருந்து ஏதாவது தனிமம் bஐயும் பெருக்க வரும் (a . b) போன்ற தனிமங்களாலான Gஇன் உட்கணத்தைக் குறிக்கும். g^-1 என்பது gஇலுள்ள தனிமம் (ǣ) ஒவ்வொன்றிற்கும் இணையாக உள்ள (ǣ¹) எனும் தனிமங்களினாலான Gஇன் உட்கணமாகும். இம்முறையில் g எனும் உட்கணம் Gஇன் உட்குலமாயிருத்தற்கு அவசியமும், போதுமானதும் ஆன விதி: g . g உம்; g¹ gஇன் உட்கணங்கள் [g . g<g; g¹ <g என்று குறிக்கலாம்; A<B என்பது A என்ற கணம் B என்ற கணத்தின் உட்கணம் என்பதைக் குறிக்கும்].

g என்பது Gஇன் உட்கணமாயின், g .α = (x . aixeg) என்ற கணத்தை gஇன் (a இனால் நிறுவிய) 'வலப்புற உபகணம்' என்று சொல்வோம். g ஆனது Gஇன் உட்குலம் ஆயின் gஇன் இத்தகைய வலப்புற உபகணங்கள் (g - a), (aeG), G எனும் கணத்தை ஒன்றுக்கொன்று பொதுத் தனிமங்கள் இல்லாத சில உட்கணங்களாகப் பகுக்கின்றன. (a. b என்பவை