இயற் கணிதம்
24
இயற் கணிதம்
இருக்குமாயின் அதனை ஒரு 'யூக்ளிடிய வலயம்' என்றழைப்போம். யூக்ளிடிய வலயங்களில் ஒவ்வொரு (சுன்னந் தவிர்த்த) தனிமத்தையும் பகாக் காரணிகளின் பெருக்குத் தொகையாக ஒரே ஒரு விதத்தில் எழுதலாம்.
யூக்னிடிய வலயங்களில் எல்லாச் சீர்கணங்களும் பிரதானச் சீர்கணங்களே. சீர்கணங்கள் A, B என் பனவற்றில் A<B என்ற உறவை B ஆனது Aஇன் சீர்கணக் காரணி என்று குறிப்பிட்டால் [a], [b] என்ற பிரதானச் சீர்கணங்கள் பொறுத்தவரை b ஆனது aஇன் (தனிமக்) காரணி என்றதும் [b] ஆனது [a] இன் சீர்கணக் காரணி என்றதும் சமநிலைத் தேற்றங்கள் ஆகும். யூக்ளிடிய வலயத்தில் a, b என்று தனிமங்களிருந்தால் (2) இல் கொடுத்த விதியை உபயோகித்து a, b-க்கு உத்தமப் பொதுக் காரணி (உ.பொ.கா.) ஆன h எனும் ஒரு தனிமத்தைக் கண்டு கொள்ளலாம் : h/a, h/b என்பதுடன், r/a, r/b உண்மையாயின் r/h என்பதும் உண்மை; இத்தகைய உ.பொ. கா.-யை மேலும் h = (l.a+m . b) என்று a, b -ஐப் பொறுத்து எழுதலாகும். மேலும் யூக்ளிடிய வலயத்திலுள்ள சீர்கணங்களில் A1 <A3 <A3....என்று முன்வருவதற்குப் பின்னது காரணியாக உள்ள ஒரு வரிசையிருக்குமாயின் அவ்வரிசையிலுள்ள சீர்கணங்களின் எண்ணிக்கை அபர எண்ணாகும். இத்தகைய மூன்று குணங்களும் சீர்கணங்களெல்லாம் பிரதானச் சீர்கணங்களாயுள்ள எந்த வலயத்திற்கும் உண்டு;மேலும் இக்குணங்களைக்கொண்டு ஒவ்வொரு தனிமத்தையும் பகாக் காரணிகளின் பெருக்குத் தொகையாக எழுதலாம் என்றும் நிரூபிக்கலாம்.
அன்றி Rஇன் சீர்கணங்களில் பிரதானச் சீர்கணங்கள் தவிர மற்றவையும் இருக்குமாயின், முதலில் சீர்கணங்களினாலான I(R) எனும் கணக்குழாத்தில் A, B எனும் இரு சீர்கணங்களினின்று AVB, AΛB, AB என்று மூன்று விதமாகப் புதுச் சீர்கணங்களை நிறுவலாம். AVB என்பது A, B யிலுள்ள ஒவ்வொரு தனிமங்கள் a,b-ஐ எடுத்து வரும் (a+b) எனும் தனிமங்களினாலான சீர்கணம். இது A, B எனும் இரு சீர்கணங்களின் காரணிகளில் உத்தமப் பொதுக்காரணி என்று சொல்லலாம்; AΛB என்பது A இலும் B இலும் பொதுவாக உள்ள Rஇன் தனிமங்களாலான சீர்கணம் ; இது A, Bக்களின் அதமப் பொது மடங்கு எனலாம். (A<B என்பதை A ஆனது B இன் மடங்கு என்றும், B ஆனது A இன் காரணி என்றும் எழுதலாம்]. A . Bஎன்பது (a . b) என்ற A, Bயிலிருந்து ஒவ்வோர் தனிமங்களெடுத்துப் பெருக்கிய தொகைகளாலான சீர்கணமாகும். A . B ⊂ A Λ B ⊂ A V B என்பது தெரிகிறது. R எனும் வலயம் IIR] இன் உட்கணமான பிரதானச் சீர்கணங்களாலான கணத்துடன் ஒத்துப்பார்க்க a ↔[a] எனும் ஒன்றொன்று பொருத்தம் உபயோகிக்கலாம். அப்பொழுது a. b → [a] . [b] ⊂ [a] Λ [b] என்றும் தெரிகிறது. ஆதலால் I(R) இலும் தனிமங்களைப் பகாக் காரணிகளினின்று ( . ) அல்லது (Λ) எனக் குறித்த பெருக்கலால் வரும் பெருக்குத் தொகையாகக் காட்ட முயற்சி செய்தல் முன்கண்ட ஆராய்ச்சிக்குத் தொடர்புடையதாகக் காண்கிறது. இத்தகைய காரணி காணல் வகை நொய்தர் (Noether) எனும் பிரபல ஜெர்மானிய கணித ஆசிரியையால் விவரிக்கப்பட்டுள்ளது. Rஎனும் வலயத்தில் A1 <A2 <...எனும் சீர்கணங்களில் வரிசை அபர எண்ணுடையதாகவே இருக்குமென்பது உண்மையாயின் ஒவ்வொரு சீர்கணமும் பகாச் சீர்கண காரணிகளின் (Λ) பெருக்குத் தொகையாகும். (சீர்கணம் A யிற்கு A, R-ஐத் தவிர வேறு காரணிகளில்லாதாயின் அது பகாச்சீர்கணமெனப்படும்). பகாக் காரணிகளைப் பிராகிருக காரணிகள் என்று நிரூபிக்கலாம். [Gஆனது R இல் பிராகிருதச் சீர்கணம் என்பதும் 'R/g இல் an=0 ஆனால் a = 0 என்பது ஒவ்வொரு தனிமம் a க்கும் உண்மை' என்பதும் சமநிலைத் தேற்றங்கள்; 'R/q ஒரு களம்' என்பதும், 'R இவ் q ஆனது மூலச் சீர்கணம்' என்பதும் சமநிலை]. இத்தகைய பிராகிருதச் சீர்கணங்களுக்குத் துணையான மூலச் சீர்கணங்களுண்டு. இவற்றின் தன்மையைப் பல்லுறுப்பி வலயங்களில் ஆராய்வதால் சதிசிப் பிரதேசங்களிலுள்ள வளைவுகள், பிராந்தியங்கள், இவற்றின் தன்மையையும் இயற்கணித முறையில் விவரிக்க வழி ஏற்படுகிறது.
11. கிரமமுடைக்குலம், களம் முதலியன: அண்மைக் காலத்தில் C, R என்ற எண் களங்களிலுள்ள < எனும் நிரைக் கிரம உறவைப் போன்ற கிரமப்படுத்தும் உறவுடைய குலம், வலயம், களம் இவை பற்றியும், யூக்ளிடிய வலயத்தில் வந்த g எனும் பொருத்துமுறை போல் வலயம் ஒன்றின் தனிமங்களுக்கு நிரைக் கிரமக் குலத்தில் மதிப்புடைய சார்பலன் இருந்தால் அவ்வலயத்தின் விசேஷ அமைப்பைப் பற்றியும் ஆராய்ச்சிகள் செய்து வருகின்றனர். இவ்வாராய்ச்சி நவீன இயற்கணிதத்தில் ஒரு முக்கிய பாகமாகிக் கொண்டு வருகின்றது.
நூல்கள்: G. Birkhoff, Survey of Modern Algebra; N. Jacobson, Lectures on Abstract Algebra, Introduction to Abstract Algebra; Van der Waerden, Modern Algebra.
கண இயற்கணிதம் (Set Algebra): 1. கணங்களிடை உறவுகளும் பிணைகளும் : கணிதத்தின் பாகங்களிலும் தினசரி வாழ்க்கையிலும் கணங்களையும் அவற்றின் பிணைகளையும் பற்றிக் கருத நேரிடுகிறது. உதாரணமாக S என்பது மனித வருக்கத்தினாலாய கணமும், S1,S2, S3 என்பன மனித வருக்கத்தில் ஆண் மக்களால் ஆன, தமிழர்களாலான மாணவர்களாலான உட்கணங்களும் ஆனால், இவ்வுட்கணங்களிடை ⊂ என்ற ஓர் உறவும், ∩, U' என்ற இரு பிணைகளும் கீழ்வருமாறு நிருணயிக்கலாம்.
1.(அ.) S1 ⊂S2 என்பது S1 இலுள்ள அங்கங்களெல்லாம் S2 இலும் அங்கங்களாகும் எனும் உறவு : S1 ஆனது S2 இன் உட்கணம் என்னலாம்.
1. (ஆ) s1 ∩s2 என்பது S1, S2 இரண்டிலும் உள்ள அங்கங்களாலான S இன் உட்கணம் (மேலே கூறிய உதாரணத்தில் தமிழர், ஆண் மக்கள் என்ற குணங்களால் நிருணயிக்கும் மனிதர்). (s. ∩ s2) என்றதை S1, S2 இவற்றின் கணசந்தி என்போம்.
1. (இ) (S1 US3) S1, S3 ஏதாவது ஒன்றிலாவது உள்ள அங்கங்களாலான S இன் உட்கணம் (மேலே உதாரணத்தில் ஆண்மக்களாகவோ மாணவர்களாகவோ உள்ள மனிதர்களின் கணம் ஆகும்). (S1 US3) என்றதை S1' S2 இவற்றின் கணச் சேர்க்கை என்போம்.
1. (ஈ) (S3-S2) என்பது S3 இலிருந்தும் S2 இல்லாததும் ஆன S இன் அங்கங்களாலான உட்கணம் (மேலே உதாரணத்தில் தமிழரல்லாத மாணவர்களாலான கணம் ) S3 - S2 ஜ S2 நீங்கியS3 என்னலாம்.
1. (உ) (S2⊗S3 ) என்பது (S2 - S3) U(S3-S3) என்பதற்குச் சம நிலை: ஆதலால் S2⊗Sa என்பதன்
8
