கலைக்களஞ்சியம்/அளவியல்

அளவியல் (Mensuration) : நீளம், பரப்பு, பருமன் ஆகியவற்றின் அளவுகளைப் பற்றிக் கூறும் கணிதவியற் பிரிவு அளவியல் எனப்படும். நேர்கோடு களையும், வளைகோடுகளையும் அளவிட்டுத் தொலைவுகளை அறியவும், சமதளமான பரப்புக்களையும் வளைவான பரப்புக்களையும் அளவிடவும், பரப்புக்களால் மூடிய பருமன்களை அளவிடவும், முறைகளும் சூத்திரங்களும் இத்துறையில் தரப்படுகின்றன. ஒரே வடிவுள்ள உரு வங்களின் உறுப்புக்கள் நேர்விகிதப் பொருத்தத்தில் இருக்கும் என்ற கோட்பாடு இத்துறைக்கு அடிப்படையாக உள்ளது.

கோடுகளை அளவிடல் : நேர்கோடுகள் அளவைகளையோ, சங்கிலிகளையோ கொண்டு அளவிடப் பெறுகின்றன. இரு இடங்களுக்கு இடையே உள்ள தொலைவை நேரடியாக அளவிட இயலாவிட்டால் நாம் நேரடியாக அளவிட ஏற்றதொரு வரையைக் குறிப்புத் திட்டமாகக் கொண்டு, அந்த வரைக்கும் நாம் அளவிட வேண்டிய வரைக்கும் உள்ள விகிதத்தை வடிவ கணித முறைகளாலோ, எண்கணித முறைகளாலோ கண்டு பிடித்து, வரையின் நீளத்தைக் கணக்கிடலாம். ஓர் அடி வரையிலிருந்து பொருளின் தொலைவைக் கணக்கிடுதல், ஒரு கோபுரத்தின் உச்சியின் உயரக் கோணத்தை அளவிட்டு அதன் உயரத்தைக் கணக்கிடுதல் போன்றவை இத்தகைய கணக்குகள்.

ஒரு வட்டத்தின் சுற்றளவிற்கும் அதன் விட்டத்திற்கும் உள்ள விகிதம் ஒரு மாறிலியாகும். இது π என்ற கிரேக்க எழுத்தினால் குறிக்கப்படும். இதன் மதிப்பு சுமார் 22/7 அல்லது 3^.1416. வட்டத்தின் வில்லை அளப்பதில் பின்வரும் தத்துவங்கள் பயன்படுகின்றன. (1) சமமான வட்டங்களின் விற்கள் அவை எதிர்கொள்ளும் (sibtend) கோணங்களுக்கு நேர்பொருத்தமாக இருக்கும். (2) வெவ்வேறு வட்டங்களில் ஒரே கோணத்தை எதிர்கொள்ளும் விற்கள் அவ்வட்டங்களின் ஆரங்களுக்கு நேர்பொருத்தமாக இருக்கும். கணிதத் துறையில் கோணங்களைப் பாகைகளில் அளவிடாது ரேடியன் என்ற அலகில் அளவிடுகிறார்கள். ஒரு வட்டத்தின் ஆரத்திற்குச் சமமான நீளமுள்ள வில் எதிர்கொள்ளும் கோணம் ஒரு ரேடியன் எனப்படும். ஆகையால் ஒரு முழுச் சுற்றில் 2π ரேடியன்கள் உள்ளன. அதாவது 2π ரேடியன்கள் 360°க்குச் சமம்.

திருத்தமான வட்ட வடிவமற்ற வளைவின் நீளத்தை அளவிட, அதைச் சிறு பகுதிகளாகப் பிரித்துக் கம்பசின் உதவியால் இப்பகுதிகளின் நீளத்தை ஒரு நேர்கோட் டின்மேல் குறித்து அதன் நீளத்தை அறியலாம். இதற்குக் கலனகணித (Calculus) முறையையும் பயன்படுத்தலாம்.

சமதளப் பரப்புக்களை அளவிடல் : பரப்புக்களில் மிக எளிய வடிவுள்ளது செவ்வகம். இதன் நீளத்தையும் அகலத்தையும் பெருக்கிப் பரப்பைக் கணக்கிடலாம். இணைகரத்தின் பரப்பை இதிலிருந்து அறியலாம். படத்தில் காட்டியதுபோல் அதன் ஒரு முனையில் ஒரு

முக்கோணத்தை வெட்டி, அதை அதன் மறு முனையில் பொருத்தி, அதை ஒரு செவ்வகமாக மாற்றி அதன்பரப் பைக் கணக்கிடலாம். இப்போது A B என்பது இணை கரத்தின் அடிவரை யென்றும், C a என்பது அதன் உயரம் என்றும் அழைக்கப்பெறும். ஆகையால் இணை கரத்தின் பரப்பு அடிவரை X உயரம். ஒரு முக்கோணம் இணைகரத்தில் பாதி என்பது படத்திலிருந்து விளங்கும். ஆகையால் மேற்கூறிய பரப்பில் பாதி முக்கோணத்தின் பரப்பு. அதாவது முக்கோணத்தின் பரப்பு=${\tfrac {1}{2}}$Xஅடி வரை X உயரம். ஒரு நாற்கரத்தின் எதிரான முனைகளை இணைத்து, அதை இரு முக்கோணங்களாகப் பிரித்து, இம்முக்கோணங்களின் பரப்புக்களைத் தனித் தனியே கணக்கிட்டுக் கூட்டி அதன் பரப்பை அறியலாம். ஒரு சரிவகத்தின் இணையான பக்கங்களின் தொகையில் பாதியையும் உயரத்தையும் பெருக்கிவந்த தொகை அதன் பரப்பிற்குச் சமம் என்று காட்டலாம். பல கோணங்களின் பரப்புக்களையும் இதே வகையில் பல முக்கோணங்களாகப் பிரித்துக் கணக்கிடலாம்.

வளைகோடுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட சமதளப்பரப்புக்களை அளவிடப் பகுமுறை வடிவ கணிதமும் (Analytic geometry), கலன கணிதமும் பயனாகின்றன. உருவத்தின் தளத்தில் கார்ட்டீசிய ஆயங்களைக் கொண்டு அதன் வரம்பைச் சிறு விற்களாக வெட்ட வேண்டும். இந்த விற்கள் ஒவ்வொன்றும் y ஆயத்தின் இணைக்கோடுகளினால் ஓரிடத்தில் வெட்டப்படுவதாக வும், X ஆயத்தினால் வெட்டப்படாததாகவும் இருக்க வேண்டும். இப்போது வில்லின் சமன்பாடு y=f(x) எனக் கொள்ளலாம். x=a, x=b என்ற இரு எல்லைகளுக்கிடையே வில்லிற்கும் X ஆயத்திற்கும் இடையே உள்ள பரப்பு

இத்தகைய பல பரப்புக்களைத் தக்கவாறு கூட்டியும் கழித்தும் பரப்பின் அளவை அறியலாம்.

ஒரு வட்டத்தை அனந்தமான சிறு பக்கங்களைக் கொண்ட ஒழுங்குப் பலகோணம் எனக் கருதலாம். ஒழுங்குப் பலகோணத்தின் மையத்தையும் முனைகளையும் இணைத்து, அதைப் பல சமமான முக்கோணங்களாகப் பிரிக்கலாம். ஆகையால் அதன் பரப்பு, பலகோணத்தின் சுற்றளவில் பாதியையும், முக்கோணங்களின் உயரத்தையும் பெருக்கிவந்த தொகையாகும். வட்டத்தைப் கோணமெனக் கொண்டால் அதன் சுற்றளவில் பாதி πX ஆரம். முக்கோணத்தின் உயரம் ஆரத்திற்குச் சமம். ஆகையால் வட்டத்தின் பரப்பு πX r² (r = ஆரம்). ஒரு வட்டக்கோணப் பகுதியின் (Sector) பரப்பிற்கும் வட்டத்தின் பரப்பிற்கும் உள்ள விகிதம், அதன் கோணத்திற்கும் 2π ரேடியன்களுக்கும் உள்ள விகிதமாகும். இதிலிருந்து வட்டக்கோணப் பகுதியின் பரப்பு ${\tfrac {1}{2}}$r² θ. என்று அறியலாம் (இங்கு θ ரேடியன்களில் குறிப்பிடப்படுகிறது).

பருமனை அளவிடுதல் : ஒரு கனச் செவ்வகத்தின் பருமன் நீளத்தையும், அகலத்தையும், உயரத்தையும் பெருக்கிப் பெறப்படும். ஒரு திட உருவம் கனச் செவ்வக வடிவமாக இல்லாவிட்டாலும், அதன் எதிரான பக்கங்கள் இணையாகவும், சமஉருவும் அளவும் உடையனவாக வும் இருந்தால், அதன் அடியின் பரப்பையும் உயரத்தையும் பெருக்கி அதன் பருமனைப் பெறலாம். பட்டகம், உருளை போன்ற வடிவங்களின் பரப்புக்களை இவ்வகையில் அறியலாம்.

பலகோண வடிவுள்ள அடியையும், அதன் தளத்திலில்லாத முனையொன்றையும் கொண்ட திட உருவம் பிரமிடு எனப்படும். அடிக்கு இணையான இதன் வெட்டு முகங்கள் ஒத்தவை. இத்தகைய திடத்தின் பருமன் ${\tfrac {1}{3}}$ X அடித் தளம்X உயரம். கூம்பு என்பது அனந்தமான சிறு பக்கங்களைக் கொண்ட பிரமிடு எனக் கொள்ளலாமாகையால் அதன் பருமனையும் இதே சூத்திரத்தால் குறிப்பிடலாம்.

கோளத்தின் பருமனை அறிய. அதற்குச் சமமான விட்டமும் உயரமும் உள்ள உருளையை எடுத்துக்கொள்வோம். வடிவ கணித முறையால், கோளத்தின் பருமன் இவ்வுருளையின் பருமனின் 2/3 பங்கு எனக் காட்டலாம். கோளத்தின் ஆரம் r எனில், உருளையின் அடித்தளத்தின் பரப்பு π r². அதன் உயரம் 2 r. அதன் பருமன் 2 π r³. ஆகையால் கோளத்தின் பருமன் ${\tfrac {2}{3}}$ X 2 π r³ அல்லது ${\tfrac {4}{3}}$ 2 π r³.

வளைவான பரப்புக்களை அளவிடுதல் : உருளையின் வளைவுப் பரப்பைப் பிரித்து, அதைச் சமதளமாக்கினால் ஒரு செவ்வகத்தைப் பெறலாம். இதன் நீளம் உருளையின் சுற்றளவிற்கும், அகலம் உயரத்திற்கும் சமமாக இருக்கும். உருளையின் ஆரம் r எனவும், உயரம் h எனவும் கொண்டால், சுற்றளவு 2 π r. ஆகையால் பரப்பு 2 π rh.

இதைப்போலவே கூம்பின் பரப்பைப் பிரித்துச் சமதளமாக்கினால் ஒரு வட்டக் கோணப்பகுதியைப் பெறலாம். இந்த வட்டத்தின் ஆரம் கூம்பின் சாய்வுப் பக்கத்திற்குச் சமம். வட்டங்களின் சுற்றளவுகள் ஆரங்களுக்கு நேர்விகிதப் பொருத்தத்தில் இருக்கும். ஆகையால் கூம்பின் பரப்பிலிருந்து பெறப்படும் வட்டக் கோணப்பகுதியின் பரப்பிற்கும், இம் முழுவட்டத்தின் பரப்பிற்கும் உள்ள விகிதம், அடிநிலையின் ஆரத்திற்கும் சாய்வு உயரத்திற்கும் உள்ள விகிதத்திற்குச் சமம். சாய்வு உயரத்தை ஆரமாகக் கொண்ட வட்டத்தின் பரப்பு π S ² ஆகையால் வட்டக்கோணப் பகுதியின் பரப்பு π rs (s=கூம்பின் சாய்வுப் பக்கம்).

ஒரு கோளம் அதன் விட்டத்திற்குச் சமமான பக்கமுள்ள கனசதுரத்திற்குள் அடங்கியுள்ளது எனக் கொள்வோம்: கோளத்தின் ஆரம் r எனில் கனசதுரத்தின் பக்கம் 2r. இவற்றின் பருமன்கள் முறையே ${\tfrac {4}{3}}$ π r³, 8 r³ ஒரு திடவடிவத்திற்குள் அடங்கியிருக்குமாறு ஒரு கோளத்தை வரைந்தால், இவ்விரண்டின் பருமன்களின் விகிதம், பரப்புக்களின் விகிதத் திற்குச் சமம். கனசதுரத்தின் பரப்பு 24 r² ஆகையால் கோளத்தின் பரப்பு 4 π r².

பாப்பசின் தேற்றங்கள் (Theorems of Pappus) கி.பி. 3ஆம் நூற்றாண்டின் இறுதியில் அலெக்சாந்திரியாவிலிருந்த சிறந்த கணித அறிஞரான பாப்பஸ் என்பவரால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டவை. இவை சுழற்சியினால் தோன்றும் உருவங்களின் பரப்புக்களையும் பருமன்களையும் கண்டறிய இத்தேற்றங்கள் பயன்படுகின்றன. சமதளமான மூடிய வளைவொன்று அதே தளத்தில் அதற்கு வெளியே உள்ள அச்சில் சுழன்றால் தோன்றும் உருவத்தின் 1. வளைவின் சுற்றளவை அதன் கவர்ச்சி மையம் இயங்கும் நியமப்பாதையின் நீளத்தால் பெருக்கிப் பரப்புப் பெறப்படும். 2. வளைவின் பரப்பை அதன் கவர்ச்சி மையத்தின் நியமப்பாதையின் நீளத்தால் பெருக்கிப் பருமன் பெறப்படும்.